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| Aufgabe | | Es seien v und w Eigenvektoren der linearen Abbildung [mm] \otimes [/mm] : V [mm] \to [/mm] V yu den Eigenwerten [mm] \lambda_{v} [/mm] und [mm] \lambda_{w}. [/mm] Klären Sie wann v-w ein Eigenvektor von [mm] \otimes [/mm] ist. |
Hallo, das war eine Klausuraufgabe und ich konnte sie damals schon nicht und da jetzt bald die Nachklausur ansteht und ich am lernen bin habe ich mich mal mit der Aufgabe beschäftig. Aber ich bekomme da nichts hin, nicht mal ein Ansatz. Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte was da zu tun ist und wie man das dann macht. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Sa 14.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi mathe-trottel,
ich hätte mal so angefangen.
Sei A die lineare Abbildung,
[mm] A(v-w)=Av-Aw=\lambda_v*v-\lambda_w*w [/mm] andererseits aber auch
[mm] A(v-w)=\mu(v-w) [/mm] also
[mm] \mu(v-w)=\lambda_v*v-\lambda_w*w \Rightarrow
[/mm]
[mm] (\mu-\lambda_v)v+(\lambda_w-\mu)w=0
[/mm]
Das ist erfüllt für [mm] \lambda_v=\lambda_w=\mu
[/mm]
Verschieden können die Eigenwerte [mm] \lambda_v [/mm] und [mm] \lambda_w [/mm] nicht sein. Denn wenn sie verschieden wären, würden v und w linearunabhängig sein, und dann würde wieder folgen [mm] \lambda_v=\lambda_w [/mm] im Gegensatz zur Annahme.
mfg ullim
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