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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 23.05.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo, ich bin dabei, den Eigenvektor vom Eigenwert /lambda = 6 zu bestimmen.
[mm] \begin{bmatrix}
-3 & -5 & -5 \\
0 & 0 & 3 \\
-3 & -5 & -11
\end{bmatrix}
[/mm]
Auf der rechten Seite stehen pro Zeile jeweils noch Nullen. Ich hab es zuerst auf die Dreiecksform mittels Gauß gebracht.
[mm] \begin{bmatrix}
-3 & -5 & -5 \\
0 & 0 & 3\\
0 & 0 & -6
\end{bmatrix}
[/mm]
Doch es kommt keine Nullzeile raus. das heißt, dass ich keinen Parameter frei wählen kann.
Aus der dritten Zeile würde sich ergeben:
[mm] -6x_3 [/mm] = 0 -> [mm] x_3 [/mm] = 0
Könnte man das so machen? Doch wie kommt man dann auf die anderen Parameter?
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Hallo dudu93,
> Hallo, ich bin dabei, den Eigenvektor vom Eigenwert /lambda
> = 6 zu bestimmen.
>
> [mm]\begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\
0 & 0 & 3 \\
-3 & -5 & -11 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Auf der rechten Seite stehen pro Zeile jeweils noch Nullen.
> Ich hab es zuerst auf die Dreiecksform mittels Gauß
> gebracht.
>
> [mm]\begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\
0 & 0 & 3\\
0 & 0 & -6 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Doch es kommt keine Nullzeile raus.
???
Du kannst doch das 2-fache von Zeile 2 auf Zeile 3 addieren, dann wird die neue 3.Zeile zur Nullzeile ...
> das heißt, dass ich
> keinen Parameter frei wählen kann.
>
> Aus der dritten Zeile würde sich ergeben:
>
> [mm]-6x_3[/mm] = 0 -> [mm]x_3[/mm] = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Könnte man das so machen? Doch wie kommt man dann auf die
> anderen Parameter?
Was steht denn in der 1.Zeile mit [mm] $x_3=0$ [/mm] ??
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 23.05.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ich dachte, dass man beim Gauß-Alg. immer die letzte Spalte auslässt...da Dreiecksform.
Wenn ich das dennoch mache, kann ich [mm] x_3=t [/mm] setzen.
Oder ich ich löse einfach nach [mm] x_3 [/mm] auf. Dann kommt [mm] x_3=0 [/mm] raus.
Was ist denn nun richtig?
Folgend würde die erste Zeile sein:
[mm] -3x_1 [/mm] - [mm] 5x_2 [/mm] -5(0) = 0
[mm] -3x_1 [/mm] - [mm] 5x_2 [/mm] = 0
Hier würde man doch die anderen Paremter auch nicht rausbekommen.
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Hallo nochmal,
> Ich dachte, dass man beim Gauß-Alg. immer die letzte
> Spalte auslässt...da Dreiecksform.
Das ist doch piepegal ...
>
> Wenn ich das dennoch mache, kann ich [mm]x_3=t[/mm] setzen.
Nein, die Zeile 2 gibt doch vor, dass [mm]x_3=0[/mm] sein muss.
Du hast also [mm]x_1[/mm] oder [mm]x_2[/mm] frei wählbar ...
>
> Oder ich ich löse einfach nach [mm]x_3[/mm] auf. Dann kommt [mm]x_3=0[/mm]
> raus.
>
> Was ist denn nun richtig?
>
> Folgend würde die erste Zeile sein:
>
> [mm]-3x_1[/mm] - [mm]5x_2[/mm] -5(0) = 0
>
> [mm]-3x_1[/mm] - [mm]5x_2[/mm] = 0
>
> Hier würde man doch die anderen Paremter auch nicht
> rausbekommen.
[mm]x_2:=t[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm]
Dann [mm]-3x_1-5t=0[/mm], also [mm]-3x_1=5t[/mm], also [mm]x_1=-5/3t[/mm]
Lösungsvektoren haben also die Gestalt [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{-5/3t\\
t\\
0}=t\cdot{}\vektor{-5/3\\
1\\
0}=s\cdot{}\vektor{-5\\
3\\
0}[/mm] mit [mm]s\in\IR[/mm] (s=1/3t: wenn t ganz [mm]\IR[/mm] durchläuft, dann auch s, mit s hast du eine "schönere" Darstellung)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 23.05.2012 | | Autor: | aurelius |
Ganz am Rande...
Kein Eigenwert der Matrix
[mm]A :=\[
\begin{pmatrix}
-3 & -5 & -5 \\
0 & 0 & 3\\
-3 & -3 & -11
\end{pmatrix}
\][/mm]
ist 6.
Es gibt übrigens mehrere Eigenwerte.
[mm]E :=\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\][/mm]
Eigenwerte werden über die Gleichung
[mm](A-\lambda E)*x = 0[/mm] bzw. (da [mm]x \neq 0[/mm] vorausgetzt wird) über [mm]det(A-\lambda E) = 0[/mm] bestimmt.
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