Eigenvektor und Eigenraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Do 20.07.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | Gegeben sie die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1}
[/mm]
Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und die Basis vom Eigenraum. |
Hallo,
also mein Ansatz zu dieser Aufgabe lautet:
charakteristisches Polynom: [mm] P(x)=x^3 [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm] - x + 4
Eigenwerte: 1, -1, -4
Leider weiß ich nicht wie man die Eigenvektroen und die Basis vom Eigenraum bestimmt. Kann mir da bitte jemand weiter helfen? Gibt es Formeln für die Bestimmung von Eigenwerten, Eigenräumen und Basen von Eigenräumen?
Danke im voraus.
|
|
| |
|
Nun, Eigenvektoren sind ja Vektoren, die bei Multiplikation mit der Matrix einfach nur um einen bestimmten Faktor vergrößert / verkleinert werden, dieser Faktor ist der Eigenwert.
Beispielsweise für deinen letzten Eigenwert -4:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1} \vektor{x \\ y \\ z}=-4\vektor{x \\ y \\ z}$
[/mm]
Dieses Gleichungssystem mußt du lösen. Es ist nicht eindeutig, sondern wird immer von einem Parameter, z.B. der z-Komponente abhängig sein. Die Lösung lönnte so aussehen: [mm] $\vektor{f(z) \\ g(z) \\ z}$. [/mm] Dies ist auch klar, denn dieses prinzip der Eigenvektoren gilt ja für alle Vektoren, die in die eine Richtung zeigen, daher ist die Lösung eine (Ursprungs)Grade.
Durch Festlegen des Parameters erhälst du dann einen einzelnen Vektor. Es wäre schön, wenn du dem Parameter so wählst, daß die Länge des Vektors 1 ist, das muß aber nicht sein.
Dieses Verfahren machst du für alle drei Eigenwerte separat, du erhälst so drei unterschiedliche Eigenvektoren, die auch gleichzeitig eine Basis des Eigenraumes bilden. In diesem Eigenraum hat die Matrix dann die Form $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -4}$ [/mm] (du mußt die Eigenvektoren in der gleichen Reihenfolge als Basis aufschreiben, wie die Eigenwerte in dieser Matrix)
|
|
|
|
