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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Do 02.02.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren folgender Matrizen:
[mm] \pmat{ -3 & 1 & 1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 } [/mm] |
So, bei der Aufgabe bzw allgemein fehlt mir nur noch die Berechnung der
Eigenvektoren. Ich habe zwar in meinen Unterlagen gelesen, dass man es zB über das Gaußsche Elimi. Verfahren macht, aber irgendwie will es nicht so ganz.
Wenn es mir mal jemand Vorrechnen könnte, wäre ich sehr dankbar.
Für den Eigenwert -2
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 \\ -7 & 7 & -1 \\ -6 & 6 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
irgendwie komme ich da immer auf
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
aber das haut doch irgendwie nicht hin?
ich hab echt keinen schimmer :(
vielen dank im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Florian,
bei der Bestimmung von Eigenvektoren gibt es ein fundamentales Problem: das entstehende Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar.
Eigentlich ist das aber kein Problem sondern sogar gut so, schließlich gibt es ja zu einem Eigenwert gewissermaßen immer unendlich viele Eigenvektoren.
In deinem Beispiel sieht man, dass [mm] $x_2$ [/mm] frei wählbar ist, weil in der Zeilen-Stufen-Form dort ein Sprung vorliegt. Die zweite Zeile bedingt, dass [mm] $x_3=0$. [/mm] In die erste Zeile eingesetzt, erhält man schließlich noch [mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
Ein möglicher Eigenvektor ist dann [mm] $\pmat{1\\1\\0}$, [/mm] er wäre aber auch [mm] $\pmat{2\\2\\0}$ [/mm] oder [mm] $\pmat{17\sqrt{\pi}\\17\sqrt{\pi}\\0}$ [/mm] möglich. Das meine ich mit unendlich vielen Eigenvektoren. Du bekommst einen Eigenvektor nur bis auf reelles Vielfaches bestimmt.
Eine einfache und todsichere Variante zur Bestimmung von Eigenvektoren findest du unter ![[]](/images/popup.gif) http://www.mi.uni-erlangen.de/~wernerth/hugo/t-methode/t-methode.pdf. Der Text ist zwar noch nicht fertig, aber für deine Aufgabe steht in Kapitel 3 schon alles drin.
Hugo
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Hi,
kann es sein das das erste Beispiel in Abschnitt 3 von dem Link einen Fehler enthält? Ich bekomme da nämlich zwei Vektoren raus, die den Kern aufspannen.
Als zweiten hab ich [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] herraus.
Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
gruß,
bb
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