Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe und die dazugehörige Lösung. Doch leider komme ich nicht auf die angegeben Eigenvektoren.
Bitte, bitte kann mir jemand für einen Eigenwert eine dataillierte Rechnung mit Weg zeigen, wie ich da drauf komme. Das wär super, denn irgendwie steh ich aufm Schlauch. So schwer kann das doch nicht sein...
Danke schon mal im Voraus
Gruß Mario |
Gegeben sei die Matrix
[mm] \pmat{ \bruch{-2}{7} & \bruch{-3}{7} & \bruch{-6}{7} \\ \bruch{6}{7} & \bruch{2}{7} & \bruch{-3}{7} \\ \bruch{-3}{7} & \bruch{6}{7} & \bruch{-2}{7}}
[/mm]
Ist diese Matrix komplex diagonalisierbar? Gibt es sogar eine komplexe Orthonormalbasis bzgl der Diagonalgestalt? Berechnen sie gegebenfalls eine solche Basis und die dazugehörige Diagonalgestalt.
---------------------------------------------------------------------------
Also, ich hab jetzt angefangen:
A ist orthogonal und die Spalten sind orthonormal
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist normal und damit sogar unitär diagonalisierbar.
Als Eigenwerte erhalt ich [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 ; [mm] \lambda_{2/3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{14} \pm [/mm] i [mm] \bruch{3}{14} \wurzel{19}
[/mm]
Und nun zum Problem:
In der Lösung sind folgende Eigenvektoren angegeben:
[mm] Eig(A,\lambda_{1}) [/mm] = [mm] Lin\{\vektor{3 \\ -1 \\ 3}\}
[/mm]
[mm] Eig(A,\lambda_{2}) [/mm] = [mm] Lin\{\vektor{10 \\ 3-3i \wurzel{19} \\ -9-i \wurzel{19}}\}
[/mm]
[mm] Eig(A,\lambda_{3}) [/mm] = [mm] Lin\{\vektor{10 \\ 3+3i \wurzel{19} \\ -9+i \wurzel{19}}\}
[/mm]
Wie berechne ich diese Eigenvektoren? Alles andere ist klar.
Danke schon mal
|
|
| |
|
>
> Gegeben sei die Matrix
>
>M:= [mm]\pmat{ \bruch{-2}{7} & \bruch{-3}{7} & \bruch{-6}{7} \\ \bruch{6}{7} & \bruch{2}{7} & \bruch{-3}{7} \\ \bruch{-3}{7} & \bruch{6}{7} & \bruch{-2}{7}}[/mm]
>
> Ist diese Matrix komplex diagonalisierbar? Gibt es sogar
> eine komplexe Orthonormalbasis bzgl der Diagonalgestalt?
> Berechnen sie gegebenfalls eine solche Basis und die
> dazugehörige Diagonalgestalt.
>
>
>
> ---------------------------------------------------------------------------
>
> Also, ich hab jetzt angefangen:
>
> A ist orthogonal und die Spalten sind orthonormal
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist normal und damit sogar unitär
> diagonalisierbar.
>
> Als Eigenwerte erhalt ich [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 ; [mm]\lambda_{2/3}[/mm]
> = [mm]\bruch{5}{14} \pm[/mm] i [mm]\bruch{3}{14} \wurzel{19}[/mm]
>
>
>
>
> Und nun zum Problem:
> In der Lösung sind folgende Eigenvektoren angegeben:
>
> [mm]Eig(A,\lambda_{1})[/mm] = [mm]Lin\{\vektor{3 \\ -1 \\ 3}\}[/mm]
>
> [mm]Eig(A,\lambda_{2})[/mm] = [mm]Lin\{\vektor{10 \\ 3-3i \wurzel{19} \\ -9-i \wurzel{19}}\}[/mm]
>
> [mm]Eig(A,\lambda_{3})[/mm] = [mm]Lin\{\vektor{10 \\ 3+3i \wurzel{19} \\ -9+i \wurzel{19}}\}[/mm]
>
>
> Wie berechne ich diese Eigenvektoren? Alles andere ist
> klar.
Hallo,
Die Eigenvektoren zu [mm] \lambda_i [/mm] berechnest Du, indem Du jeweils den Kern
von [mm] M-\lambda_i*E [/mm] ermittelst.
Wenn Du nicht genau die angegebenen Vektoren herausbekommst, mußt Du nicht traurig sein: Vielfache von denen tun's auch!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
