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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Sa 01.09.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Berechnen sie die eigenvektoren der folgenden Matrizen. Geben Sie die algebraische und die geometrische Vielfachheit der Eigenvektoren an.
[mm] \pmat{ 5 & 1 & -2 \\ 1 & 8 & -1 \\ -2 & -1 & 5 } [/mm] |
Hi,
ich komme bei der Aufgabe nicht mit den Eigenvektoren, bzw. der geometrischen Vielfachheit klar.
Ich habe die Eigenwerte berechnet:
[mm] \lambda_{1}=3 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=6 [/mm] ; [mm] \lambda_{3}=9
[/mm]
(Diese Werte müssten richtig sein, da sie mit der Musterlösung übereinstimmen)
So, dann die lambdas in die Matrix eingesetzt:
für [mm] \lambda_{1}=3:
[/mm]
[mm] \alpha*\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] ; [mm] v=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
AVF: 1
GVF: 1
(stimmt auch mit Musterlösung überein)
für [mm] \lambda_{2}=6:
[/mm]
[mm] x_{1}=-2\alpha+\beta
[/mm]
[mm] x_{2}=\beta
[/mm]
[mm] x_{3}=\alpha
[/mm]
also:
[mm] \vec{x}=\alpha\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+\beta\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
In der Musterlösung ist steht [mm] v=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und GVF: 1
Aber habe ich hier nicht zwei Eigenvektoren und somit die geometrische Vielfachheit 2. Würde man [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gleich 1 setzen, kommt man auf das Ergebnis der Musterlösung. Das habe ich vorher aber nicht so gemacht.
Also, warum ist hier die GVF nicht 2 und warum sind meine Eigenvektoren nicht [mm] v_{1}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}und v_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}???
[/mm]
Schonmal danke für Eure Hilfe
Stefan
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Hallo Stefan,
du musst dich bei der Berechnung des Kernes von [mm] A-6\cdot{}\mathbb{E}_3 [/mm] vertan haben
Ich erhalte:
[mm] A-6\cdot{}\mathbb{E}_3=\pmat{ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & -1 }
[/mm]
Nun bringen wir das in ZSF zur Bestimmung des Ranges - die Dimension des Eigenraumes zu [mm] \lambda=6 [/mm] ist dann n-rg=3-rg
Ich schlage dazu vor: Addition der 3.Zeile zum 2-fachen der 2.Zeile und zum (-2)-fachen der 1.Zeile
Das gibt [mm] \pmat{ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -2 & -1 & -1 }
[/mm]
Nun 2.Zeile + 1.Zeile und Tauschen von Zeilen 1 und 3 und [mm] \frac{1}{3}\cdot{}Zeile [/mm] 2
ergibt [mm] \pmat{ -2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also rg=2, damit dim(Kern)=3-2=1
Setzten wir nun [mm] x_3=t [/mm] mit [mm] t\in\IR, [/mm] so ist mit Zeile 2: [mm] x_2=t [/mm] und damit mit
Zeile 1: [mm] -2x_1-t-t=0\Rightarrow x_1=-t
[/mm]
(Also [mm] Kern(A-6\cdot{}\mathbb{E}_3)=\langle\vektor{-1\\1\\1}\rangle)
[/mm]
Mit t=1 hast du den Eigenvektor deiner Musterlösung, der Kern ist eindimensional
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Sa 01.09.2007 | | Autor: | polyurie |
ja klar, vielen Dank!!!!
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