Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo :) !
Seien F,G : [mm] K^n [/mm] -> [mm] K^n [/mm] lineare Abbildungen mit F [mm] \circ [/mm] G = G [mm] \circ [/mm] F und alle Eigenwerte von F und G seien einfach. Zeige: F und G haben die gleichen Eigenvektoren.
Mein Ansatz: Sei x Eigenvektor von G zum Eigenwert y.
F(G(x)) = F(yx) = y*F(x) = G(F(x)) .
Irgendwie komm ich nicht weiter.
Hat jemand einen Tipp, ne Idee für mich ?
Danke im Voraus :).
Viele Grüße
Fry.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fry!
Es sei $v [mm] \in Eig_{\lambda}(F)=Span(v)$, [/mm] $v [mm] \ne [/mm] 0$, beliebig gewählt.
Dann ist wegen
$F(G(v)) =G(F(v)) = [mm] G(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] G(v)$
auch:
$G(v) [mm] \in Eig_{\lambda}(F) [/mm] = Span(v)$,
d.h. es gibt ein [mm] $\mu \in \IR$ [/mm] mit
$G(v) = [mm] \mu \cdot [/mm] v$.
Dies bedeutet:
$v [mm] \in Eig_{\mu}(G)$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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