Eigenvektoren mit 2 unbek? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Mich quälen die Eigenvektoren etwas...
Umgeformt hab ich die Matrix, aber ich komme mal wieder nicht auf den Eigenvektor, weil ich eine Unbekannte zu viel hab:
3 -2 2 8
0 0 -2 8
0 0 -2 1
0 0 0 -3
Wie bekomm ich daraus den Eigenvektor? (ich habs etwas eilig, entschuldigt die latex - freie notation)
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 22.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Hallo,
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> Mich quälen die Eigenvektoren etwas...
> Umgeformt hab ich die Matrix, aber ich komme mal wieder
> nicht auf den Eigenvektor, weil ich eine Unbekannte zu viel
> hab:
>
> 3 -2 2 8
> 0 0 -2 8
> 0 0 -2 1
> 0 0 0 -3
>
> Wie bekomm ich daraus den Eigenvektor? (ich habs etwas
> eilig, entschuldigt die latex - freie notation)
Eilig oder nicht: eine vernünftige Aufgabenstellung samt ebensolcher Frage muss dastehen, wenn du ernsthafte Hilfe erwartest. Was ist das da oben: die ursprüngliche Matrix oder irgendewas, was du umgeformt hast? Variablen sehe ich da auch nirgends. Weißt du eigentlich wenigstens, um was es hier geht? Das ist eine ernstgemeinte Frage: denn man kann es aus deinem Startbeitrag keinesfalls ersehen!
Gruß, Diophant
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Oben im Text steht drin, dass ich die Matrix umgeformt habe.
Ja ich weiß auch wodrum es geht, meine Frage war letztlich nur durch das Eingabefeld oben im Titel beschränkt.
Dann eben jetzt noch einmal ausführlicher.
[mm] \begin{pmatrix}
3 & -2 & 8 & 8 \\
0 & 0 & -2 & 8 \\
0 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-3
\end{pmatrix} [/mm]
Das ist die aus der [mm] (A-\lambda)x = 0 [/mm] enstandene und bereits in Zeilenstufenform umgeformte Matrix zum Eigenwert [mm] \lambda = 2 [/mm]
Daraus den Eigenvektor ablesen hat man uns wie folgt beigebracht:
Man wähle eine Unbekannte als frei und löse die anderen Gleichungen dementsprechend auf.
Mein Problem liegt in der ersten Gleichung. Mir fehlt eine Gleichung mit der ich entweder [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2 [/mm] bestimmen kann.
Deswegen war meine Frage, ob ein Eigenvektor auch von 2 unbekannten abhängen kann, da er ja bis auf die Multiplikation mit Skalaren eindeutig ist.
Wenn er das nicht kann, wie lese ich dann aus der oben angegebenen Matrix den Eigenvektor ab?
Ich hoffe diesmal war es verständlicher und ich entschuldige mich nochmals dafür, dass ich Privatleben habe.
Liebe grüße
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> Dann eben jetzt noch einmal ausführlicher.
> [mm]\begin{pmatrix}
3 & -2 & 8 & 8 \\
0 & 0 & -2 & 8 \\
0 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-3
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Das ist die aus der [mm](A-\lambda)x = 0[/mm] enstandene und bereits
> in Zeilenstufenform umgeformte Matrix zum Eigenwert [mm]\lambda = 2[/mm]
Hallo,
die von Dir gepostete Matrix ist nicht in ZSF.
ZSF wäre z.B. das:
[mm]\begin{pmatrix}
3 & -2 & 8 & 8 \\
0 & 0 & -2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & -7 \\
0 & 0 & 0 &0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Daraus den Eigenvektor ablesen hat man uns wie folgt
> beigebracht:
> Man wähle eine Unbekannte als frei und löse die anderen
> Gleichungen dementsprechend auf.
Als freie Variable kann man die wählen, in deren Spalte kein führendes Zeilenelement steht.
Hier
[mm] x_2=t
[/mm]
Die 3.Zeile sagt:
[mm] x_4=0
[/mm]
die 2.Zeile: [mm] -2x_3=-8x_4=0, [/mm] also
[mm] x_3=0
[/mm]
1. Zeile: [mm] 3x_1=2x_2-8x_3-8x_4=2t, [/mm] also
[mm] x_1=\bruch{2}{3}t
[/mm]
> Mein Problem liegt in der ersten Gleichung. Mir fehlt eine
> Gleichung mit der ich entweder [mm]x_1[/mm] oder [mm]x_2[/mm] bestimmen
> kann.
Ich weiß nicht, was Du meinst.
>
> Deswegen war meine Frage, ob ein Eigenvektor auch von 2
> unbekannten abhängen kann, da er ja bis auf die
> Multiplikation mit Skalaren eindeutig ist.
???
Der Eigenraum kann prinzipiell auch eine größere Dimension als 1 haben.
Dann gibt es zwei oder mehr linear unabhängige Eigenvektoren zum betreffenden Eigenwert.
Hier ist das nicht der Fall.
> Wenn er das nicht kann, wie lese ich dann aus der oben
> angegebenen Matrix den Eigenvektor ab?
>
> Ich hoffe diesmal war es verständlicher und ich
> entschuldige mich nochmals dafür, dass ich Privatleben
> habe.
Was das jetzt mit dem Privatleben zu tun hat, verstehe ich nicht.
Aber wenn's hilft: ich hab' auch eins.
LG Angela
>
> Liebe grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Do 22.05.2014 | | Autor: | Killercat |
Hallo Angela,
es gibt Momente, da wundert man sich, warum man nicht längst vor eine Wand gelaufen ist vor Blindheit.
Ich danke dir, Privatleben hin oder her, du hast mein Problem gerade gelöst.
Liebe Grüße
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> Hallo,
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> Mich quälen die Eigenvektoren etwas...
> Umgeformt hab ich die Matrix, aber ich komme mal wieder
> nicht auf den Eigenvektor, weil ich eine Unbekannte zu viel
> hab:
>
> 3 -2 2 8
> 0 0 -2 8
> 0 0 -2 1
> 0 0 0 -3
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> Wie bekomm ich daraus den Eigenvektor? (ich habs etwas
> eilig, entschuldigt die latex - freie notation)
Hallo,
mit der Notation kann ich leben, aber das Posten der Matrix und der berechneten Eigenwerte wäre kein Fehler gewesen.
Die Matrix da oben ist " [mm] A-\lambda [/mm] E "?
Von dieser ist nun eine Basis des Kerns zu bestimmen.
obige Matrix in reduzierte Zeilenstufenform gebracht:
1 -2/3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Die Variablen in den Spalten, in denen keine führenden Zeilenelemente sind, kann frei gewält werden.
Hier:
[mm] x_2=t
[/mm]
3.Zeile:
[mm] x_4=0
[/mm]
2.Zeile:
[mm] x_3=0
[/mm]
1.Zeile:
[mm] x_1=-2/3x_2=-2/3t
[/mm]
Also haben die Eigenvektoren die Gestalt [mm] \vektor{x_^\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-2/3t\\t\\0\\0}=t*\vektor{-2/3\\1\\0\\0}.
[/mm]
[mm] \vektor{-2/3\\1\\0\\0} [/mm] ist Basisvektor des Eigenraumes zu dem Eigenvektor, den Du gerade betrachtest - und natürlich ein Eigenvektor.
LG Angela
>
> Liebe Grüße
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