Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 Do 29.01.2004 | | Autor: | Nick |
N'abend allerzeits,
ich sitze mal wieder an meinen Aufgaben und hab' grad nen Brett vor dem Kopf. Ich hab folgende Aufgabe zu lösen:
a) Es sei V ein K-Vektorraum, [mm]\alpha[/mm] [mm]\in[/mm] End V und v1,...,vr seien Eigenvektoren von [mm]\alpha[/mm] zu paarweise verschiedenen Eigenwerten t1,...,tr. Zeigen Sie, dass (v1,...,vr) linear unabhängig ist.
b) Es sei nun zusätzlich [mm]\delta[/mm] : V x V -> K eine symmetrische Bilinearform auf V und [mm]\alpha[/mm] habe die Eigenschaft, dass [mm]\delta[/mm] ([mm]\alpha[/mm] (v),w) = [mm]\delta[/mm] (v,[mm]\alpha[/mm] (w)) für alle v,w [mm]\in[/mm] V gilt. Zeigen Sie, dass v1,...,vr paarweise orthogonal sind, d.h. dass [mm]\delta[/mm] (vi,vj) = 0 ist für i [mm]\neq[/mm] j.
Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, damit ich ne Idee bekomme, wie ich die Aufgabe lösen kann?
Aber danke schon mal im voraus,
Eurer Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Do 29.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nick!
ad a)
Hier könnte man einen Widerspruchsbeweis führen und annehmen, dass [mm] v_1,\ldots,v_r [/mm] nicht linear unabhängig sind.
Dann kann man diese $r$ Eigenvektoren so sortieren (einfach durch Umnummerierung), dass (wenigstens) die ersten $k$ Vektoren linear unabhängig sind, und alle anderen $r-k$ Vektoren eine Linearkombination dieser $k$ Vektoren sind. (Im Extremfall wäre $k=1$, aber das spielt keine Rolle.)
Dann gilt zum Beispiel diese Gleichung:
$ [mm] s_1*v_1 [/mm] + [mm] s_2*v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] s_k*v_k [/mm] = [mm] v_{k+1} [/mm] $ mit [mm] $s_1,\ldots,s_k\in\IK$
[/mm]
(Der (k+1)-te Eigenvektor ist eine Linearkombination der ersten k Eigenvektoren, s.o.)
Und so geht es weiter:
Nun berechne doch mal zum Spaß das Bild dieser Linearkombination unter [mm] $\alpha$; [/mm] dies geht auf zwei verschiedene Weisen (Tipp: Linearität von [mm] $\alpha$ [/mm] und Eigenvektor-Eigenschaft der Linearkombiniton als ganzes ausnutzen!)
Bei Problemen verrate ich gerne noch mehr 
ad b)
Zeige zunächst, dass
[mm] $t_i*\delta(v_i,v_j)=t_j*\delta(v_i,v_j)$
[/mm]
(Linearität von [mm] $\delta$ [/mm] benutzen)
Dann folgt die Behauptung sofort daraus, dass [mm] $t_i\neq t_j$ [/mm] vorausgesetzt war.
Viel Erfolg,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 So 01.02.2004 | | Autor: | Lisa |
Hi,
besitzt du zufällig den Beutelspacher? Da steht auf Seite 204 die Lösung von Teil a.
Viel Glück!
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