Eigenvektoren u. Eigenwerte < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo Matheraum!
Kann mir jemand beim Lösen der folgenden aufgabe helfen?:
Sei A [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] normal, [mm] (c^{1},...,c^{n}) [/mm] eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm] z_{1},...,x_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) <Ax|x> = [mm] \summe_{j=1}^{n} z_{j} ||^{2} [/mm] für alle x [mm] \in \IC
[/mm]
b) max {|<Ax|x>| , ||x|| =1} = max [mm] {|z_{j}|, j= 1,...,n}
[/mm]
Ich weiß irgendwie gar nicht so richtig, wie ich da rangehen soll.
Wäre euch sehr dankbar.
|
|
| |
|
Also auf Teil a wird man ja regelrecht gestoßen. Du hast die Eigenvektorbasis
[mm] {c_1,...,c_n} [/mm]. Prinzipiell musst du jetzt nur noch einsetzen und nachrechnen. [mm] = \sum^n_{k=1} \underbrace{=}_{ONB} a_j \Rightarrow \quad =\sum^n_{j=1} a_j =\sum^n_{j=1}x_j < c_j, x>[/mm] die Behauptung folgt.
|
|
|
| |
|
[mm]=\sum^n_{j=1} x_j ||^2=\sum^n_{j=1} x_j |<\sum^n_{k=1}a_k c_k,c_j>|^2=\sum^n_{j=1} x_j |a_j|^2\leq x_{max} \underbrace{\sum^n_{j=1}|a_j|^2}_{=1 \:\textnormal{nach Vor.}} =x_{max}[/mm]
Für die Gleichheit zeigt man, dass [mm]Ac_m=x_{max}[/mm] ist. fertig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hi Leute.
Hab bei der eingabe der Aufgabe etwas falsch gemacht, und zwar sind [mm] z_{j} [/mm] die Eigenwerte und nicht [mm] x_{j}, [/mm] das käme nämlich zu Übereinstimmungen mit anderen Koeffizienten der Aufgabe.
Sorry, hoffe, dass ihr mir trotzdem weiterhelfen könnt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 So 04.02.2007 | | Autor: | straussy |
Ich hab die Komponenten von dem Vektor [mm] x [/mm] nirgendwo benutzt. Will heißen wenn du jetzt alle [mm] x_j [/mm] durch [mm] z_j [/mm] ersetzt, hast du die Lösung. Und versuch zu verstehen was ich dir aufgeschrieben habe! Einfach abschreiben hilft dir überhaupt nicht.
mfg Straussy
|
|
|
|
