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Eigenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Fr 17.09.2004
Autor: metropolitan

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt

hallo ihr lieben,

erstmal kompliment an dieses forum!

kann mir vielleicht jemand von euch bei diesem beweis helfen...?

Es sei K ein Körper, A eine quadratische invertierbare Matrix und B ebenfalls eine quadratische Matrix. ich soll zeigen, dass jeder eigenwert von AB auch Eigenwert von BA ist.

danke
metro
        
Bezug
Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Fr 17.09.2004
Autor: Julius

Hallo metro!

[willkommenmr]

Es sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $AB$. Dann gibt es einen Vektor $x [mm] \in \IK^n$, [/mm] $x [mm] \ne [/mm] 0$, mit

(1) [mm] $ABx=\lambda [/mm] x$.

Da $A$ invertierbar ist, gibt es einen Vektor $y [mm] \in \IK^n$, [/mm] $y [mm] \ne [/mm] 0$, mit

(2) $Ay=x$.

Wir setzen nun (2) in (1) ein und erhalten:

$ABAy = [mm] \lambda [/mm] Ay$,

also:

$A(BAy [mm] -\lambda [/mm] y)=0$.

Hast du nun eine Idee, wie man den Beweis zu Ende führen könnte?

Teile uns diese bitte mit und begründe bitte jeden Schritt ganz genau.

Wir kontrollieren das dann oder helfen dir weiter. :-)

Liebe Grüße
Julius
Bezug
        
Bezug
Eigenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Fr 17.09.2004
Autor: metropolitan

*heul*
es ist ja soooo deprimierend, wenn man selbst nicht darauf kommt
*weiterheul*

ich versuchs mal

(ich muss leider dein lambda in t umbenennen, weil bei mir die formelhilfe noch nicht so ganz funktioniert)

Also wie du schon geschrieben hast
A(BAy-ty)=0
<=>A(BA-t)y=0

Könnte man jetzt nicht so fortfahren, dass man sich das, was in den Klammern steht, also BA-t, anguckt und darauf schließt, dass
BA-t=0
<=> BA=t
<=> BAx=tx
???

ist wirklich nur ne idee, also nicht lachen, wenn es falsch ist :-)

metro
Bezug
                
Bezug
Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Fr 17.09.2004
Autor: Julius

Liebe metro!

> *heul*
>  es ist ja soooo deprimierend, wenn man selbst nicht darauf
> kommt
>  *weiterheul*

Nicht weinen, wir sind doch bei dir... [umarmen] ;-)

> ich versuchs mal
>  
> (ich muss leider dein lambda in t umbenennen, weil bei mir
> die formelhilfe noch nicht so ganz funktioniert)

Tipp mal [mm]\lambda[/mm] ein und schau hier: www.matheraum.de/mm

> Also wie du schon geschrieben hast
>  A(BAy-ty)=0
>  <=>A(BA-t)y=0

Das macht so keinen Sinn. $AB$ ist eine Matrix, $t$ ein Skalar.

Ich mache es dir mal vor:

Da $A$ invertierbar ist, gilt: [mm] $Kern(A)=\{0\}$ [/mm] (also: $Ax=0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x=0$).

Aus

[mm] $A(BAy-\lambda [/mm] y)=0$

folgt also:

[mm] $BAy-\lambda [/mm] y=0$,

und demzufolge:

[mm] $BAy=\lambda [/mm] y$.

Wegen $y [mm] \ne [/mm] 0$ ist $y$ ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] der Matrix $BA$.

Alles klar?

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 So 19.09.2004
Autor: metropolitan

hallo julius,
sorry, dass ich erst jetzt antworte. mein internet, hat leider die ganze zeit gestreikt. ich werde jetzt mal versuchen, deinen beweis nachzuvollziehen und mich wieder melden, wenn es unklarheiten gibt.
vielen lieben dank für deine hilfe!!!!
lg
metro
Bezug
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