Eigenwert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mo 31.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix [mm] A \in M_{22}(\IC) [/mm] deren Einträge alle in [mm] \IC\setminus\IR [/mm] liegen und deren Eigenwerte alle reellen Zahlen sind. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mein Idee ist folgende:
[mm] \pmat{i^2&0\\0&i^2} [/mm]
Wenn ich das charakteristische Polynom davon bilde, erhalte ich [mm] (T+1)^2 [/mm]. Da die Nullstellen des charakteristischen Polynoms die Eigenwerte sind, wäre der Eigenwert hier -1.
Sind diese Überlegungen richtig ?
Und ..wie bekomme ich alle Elemente aus [mm] \IR [/mm] als Eigenwerte ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mo 31.03.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix [mm]A \in M_{22}(\IC)[/mm]
> deren Einträge alle in [mm]\IC\setminus\IR[/mm] liegen und deren
> Eigenwerte alle reellen Zahlen sind.
> Mein Idee ist folgende:
> [mm]\pmat{i^2&0\\0&i^2}[/mm]
> Wenn ich das charakteristische Polynom davon bilde,
> erhalte ich [mm](T+1)^2 [/mm]. Da die Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms die Eigenwerte sind, wäre der
> Eigenwert hier -1.
> Sind diese Überlegungen richtig ?
Nee, sind sie nicht, weil nämlich die Einträge der Matrix nicht in [mm] \IC \backslash \IR [/mm] liegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 31.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
> Mahlzeit!
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> > Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix [mm]A \in M_{22}(\IC)[/mm]
> > deren Einträge alle in [mm]\IC\setminus\IR[/mm] liegen und deren
> > Eigenwerte alle reellen Zahlen sind.
>
> > Mein Idee ist folgende:
> > [mm]\pmat{i^2&0\\0&i^2}[/mm]
> > Wenn ich das charakteristische Polynom davon bilde,
> > erhalte ich [mm](T+1)^2 [/mm]. Da die Nullstellen des
> > charakteristischen Polynoms die Eigenwerte sind, wäre der
> > Eigenwert hier -1.
> > Sind diese Überlegungen richtig ?
>
> Nee, sind sie nicht, weil nämlich die Einträge der Matrix
> nicht in [mm]\IC \backslash \IR[/mm] liegen.
Hallo Dieter, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
Ah, falsch wegen der 0 !
Neuer Versuch:
[mm] \pmat{-i&i\\i&i} [/mm] ergibt als char.Polynom [mm] T^2+1-(-1)=T^2 [/mm]. Aber was bedeutet das für die Nullstellen und die Eigenwerte ?
[mm] T^2 [/mm] wird nur 0 , wenn T die Nullmatrix ist ?
Danke, Susanne.
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> Ah, falsch wegen der 0 !
Nicht nur deswegen: [mm] i^2 [/mm] ist reell!
Gruß v. Angela
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> Neuer Versuch:
> [mm]\pmat{-i&i\\i&i}[/mm] ergibt als char.Polynom [mm]T^2+1-(-1)=T^2 [/mm].
Hallo,
das charakteristische Polynom stimmt nicht. Rechne es mal ganz langsam aus.
> Aber was bedeutet das für die Nullstellen und die
> Eigenwerte ?
Wenn [mm] T^2 [/mm] das charakteristische Polynom wäre, wäre 0 der einzige Eigenwert.
> [mm]T^2[/mm] wird nur 0 , wenn T die Nullmatrix ist ?
Jetzt bin ich überfordert...
Gruß v. Angela
P.S.:
Möglicherweise gilt es noch ein Mißverständnis bzgl. der Aufgabe aufzuklären:
eingangs schriebst Du in der Aufgabenstellung "...und deren Eigenwerte alle reellen Zahlen sind."
Das soll wohl eher heißen "...und deren Eigenwerte alles reelle Zahlen sind."
Denn die Matrix kann doch nicht überabzählbar viele Eigenwerte haben. Höchstens zwei verschiedene. Und die sollen reell sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mo 31.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Hilfe.
Musste leider weg, deshalb reagiere ich erst jetzt.
Also, ich habe nachgerechnet und komme jetzt auf [mm] T^2+1.
[/mm]
Das kann man aber auch schreiben als (T+i)(T-i). Dann wären die Nullstellen bei -i und +i.
Aber was bedeutet das für die Eigenwerte ?
Leider heisst es in der Aufgabe wirklich "...und deren Eigenwerte alle reelle Zahlen sind." Vielleicht ein Tippfehler ?
Danke, Susanne.
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> Also, ich habe nachgerechnet und komme jetzt auf [mm]T^2+1.[/mm]
Bei mir war das [mm] T^2+2, [/mm] aber das sind ja nur Nuancen.
> Das kann man aber auch schreiben als (T+i)(T-i). Dann
> wären die Nullstellen bei -i und +i.
> Aber was bedeutet das für die Eigenwerte ?
Das sind die beiden Eigenwerte, und die sind nicht reell.
>
> Leider heisst es in der Aufgabe wirklich "...und deren
> Eigenwerte alle reelle Zahlen sind." Vielleicht ein
> Tippfehler ?
Das muß ein Fehler sein.
Weil: die Eigenwerte sind doch die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms der Matrix. Da dieses den Grad 2 haben muß, kann es höchstens zwei Nullstellen geben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 31.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
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> > Also, ich habe nachgerechnet und komme jetzt auf [mm]T^2+1.[/mm]
>
> Bei mir war das [mm]T^2+2,[/mm] aber das sind ja nur Nuancen.
Ok, hab ich auch, ich hab es nur falsch abgeschrieben - danke !
Aber dieses Polynom hat in [mm] \IR [/mm] keine Nullstellen, also ist diese Matrix nicht als Beispiel für diese Aufgabe geeignet.
Ist denn das ok ?:
[mm] \pmat{-i&-2i\\i&i} [/mm] ergibt [mm] (T+i)(T-i)-(-2i^2)=T^2-1 [/mm]
Hier wäre die Nullstelle bei 1 und -1 und damit könnten das die Eigenwerte aus [mm] \IR [/mm] sein - oder ?
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Mo 31.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo schachuzipus
VIELEN DANK und lieben Gruss !
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
nett gesagt 
