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| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f,g sind Endomorphismen von V nach V. Beweisen sie folgende Aussage:
f(g(v)) und g(f(v)) haben dieselben Eigenwerte.
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Ich hab mir schon mal überlegt, ob diese beiden Abbildungen nicht dieselbe Darstellungsmatrix haben. Aber das ist doch nicht der Fall. Oder??
Wenn das so ist dann könnte man doch mit der Formel Av = l*v argumentieren, wobei l der Eigenwert ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:28 So 13.04.2008 | | Autor: | pelzig |
[mm] $AB=B^{-1}(BA)B$, [/mm] d.h. $AB$ ist ähnlich zu $BA$, damit ist ihr charakteristisches Polynom gleich.
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> [mm]AB=B^{-1}(BA)B[/mm], d.h. [mm]AB[/mm] ist ähnlich zu [mm]BA[/mm], damit ist ihr
> charakteristisches Polynom gleich.
Hallo,
hier mischt sich Wahres mit Unwahrem.
Das charakteristische Polynom von AB ist zwar gleich dem von BA (und das sollte margitbrunner auch verwenden), Deine Begründung stimmt jedoch nicht, denn Du setzt die Invertierbarkeit von B voraus.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:48 So 13.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Ist mir auch schon aufgefallen. Zumindest bekommt man es so schonmal geschenkt, wenn $A$ oder $B$ invertierbar sind...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 13.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Eine Möglichkeit wäre zu zeigen, dass AB und BA dasselbe charakteristische Polynom haben. Das ist aber mMn schwer.
Geh' lieber so vor: Sei [mm] v_1 [/mm] EV zum EW [mm] \lambda [/mm] von AB. [mm] (AB)v_1=\lambda v_1 \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow (BA)w_1=\lambda w_1. [/mm] Also [mm] \lambda [/mm] EW von BA. Und das ganze dann nochmal in die andere Richtung (was aber total analog geht).
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> Eine Möglichkeit wäre zu zeigen, dass AB und BA dasselbe
> charakteristische Polynom haben. Das ist aber mMn schwer.
Hallo,
ja, jedenfalls ist's kein Zweizeiler.
Falls es in der Vorlesung dran war darf Margit es jedoch benutzen, und dann ist ihre Aufgabe einfach.
Gruß v. Angela
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Hallo zusammen,
es war bei uns in der Vorlesung dran, dass die charakteristischen Polynome gleich sind. Aber auch der andere Beweis, der aufgeführt wurde finde ich ist auch einleuchtend und gut verständliche.
Danke
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> Geh' lieber so vor: Sei [mm]v_1[/mm] EV zum EW [mm]\lambda[/mm] von AB.
> [mm](AB)v_1=\lambda v_1 \Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow (BA)w_1=\lambda w_1.[/mm]
> Also [mm]\lambda[/mm] EW von BA.
Hallo,
wenn Du Dir die Beweisführung so denkst, wie ich meine, sehe ich ein Problem:
Was ist denn, wenn [mm] Bv_1=0 [/mm] ist? Dann taugt [mm] Bv_1 [/mm] nämlich nicht als Eigenvektor.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 13.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
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> > Geh' lieber so vor: Sei [mm]v_1[/mm] EV zum EW [mm]\lambda[/mm] von AB.
> > [mm](AB)v_1=\lambda v_1 \Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow (BA)w_1=\lambda w_1.[/mm]
> > Also [mm]\lambda[/mm] EW von BA.
>
> Hallo,
>
> wenn Du Dir die Beweisführung so denkst, wie ich meine,
> sehe ich ein Problem:
>
> Was ist denn, wenn [mm]Bv_1=0[/mm] ist? Dann taugt [mm]Bv_1[/mm] nämlich
> nicht als Eigenvektor.
>
> Gruß v. Angela
Da hast du recht. Das ist auch der Grund warum man in unendlich-dimensionalen VR das ganze nur für EW [mm] \not= [/mm] Null beweisen kann (also [mm]f\circ g[/mm] und [mm]g\circ f[/mm] haben -bis auf die Null- dieselben EW).
Im endlich-dimensionalen muss man noch zusätzlich argumentieren. Man könnte z.B. sagen, dass wenn Null ein EW zu AB ist, dann ist der Kern von AB nicht trivial, damit ist er auch von A und/oder von B nicht trivial, und somit auch von BA nicht.
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