EigenwertAbbildungseigenschaft < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:16 Mo 24.08.2020 | | Autor: | ichgast |
| Aufgabe | A = [mm] \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \,\,\,\,\,\, [/mm] a,b [mm] \neq 0,a^{2} [/mm] = [mm] 1-b^{2}
[/mm]
Berechnen Sie die Eigenwerte von A und interpretieren Sie das Ergebnis.Charakterisieren Sie dann (mit Begründung)die Abbildungseigenschaft der Matrix A. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei mir habe ich die Eigenwerte
[mm] x_1 [/mm] = a + [mm] \sqrt{\frac{4}{1-b^{2}} - 1}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = a - [mm] \sqrt{\frac{4}{1-b^{2}} - 1}
[/mm]
Ich habe keine Idee was ich interpretieren soll oder die Abbildungseigenschaft der Matrix A charakterisieren soll.
Bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mo 24.08.2020 | | Autor: | leduart |
Wie du auf die Eigenwerte kommst sehe ich nicht
du hast doch [mm] (a-x)^2+b^2=0 [/mm] also x=a+-i*b
ausserdem [mm] det(A)=a^2+b^2= [/mm] 1 also ist die Abbildung flächentreu und fals a,b reell was wahr ist denn da steht a,b>0 gilt a<1 und b<1
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mo 24.08.2020 | | Autor: | ichgast |
Mit komplexen Zahlen sollen wir eigendlich nicht rechnen.
also meine schritte die ich gemacht habe waren:
[mm] (a-x)^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
[mm] a^2- [/mm] 2ax + [mm] x^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
1 - [mm] b^2 [/mm] - 2ax + [mm] x^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] hier habe ich [mm] a^2 [/mm] durch [mm] 1-b^2 [/mm] ersetzt
[mm] x^2 [/mm] - 2ax + 1
dann bin ich auf meine eigenwerte gekommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 24.08.2020 | | Autor: | chrisno |
>
> [mm]x^2[/mm] - 2ax + 1
Rechne noch einmal die Lösung dieser quadratischen Gleichung aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 24.08.2020 | | Autor: | ichgast |
ja hab mich verrechnet, Lösung :
[mm] x_1 [/mm] = a + [mm] \wurzel{a^2 -1} [/mm]
[mm] x_2 [/mm] = a - [mm] \wurzel{a^2 -1} [/mm]
Ich kann aber noch immer nicht sagen was ich daraus erkennen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 24.08.2020 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Bei uns sagt man, wenn man auch noch in anderen Foren frägt.
2. du kannst sehen, du hast keinen reellen Eigenwert. da [mm] a^2-1=-b^2<0
[/mm]
wegen [mm] a^2+b^2=1 [/mm] kannst du [mm] a=cos(\alpha), b=sin(\alpha [/mm] setzen und siehst dass es eine Drehung um den Winkel [mm] \alpha=arctan(a/b) [/mm] ist. entdecken kann man das auch, wenn man für a und b passende zahlenpaare einsetzt und das Bild der Basisvektoren zeichnet.
Gruß ledum
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