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Eigenwert/Invertierbarkeit: Tipps/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Mo 30.03.2009
Autor: Rubstudent88

Aufgabe
Sei T: V [mm] \to [/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus des endlich-dimensionalen [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] V (d.h. es existiert ein k [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit [mm] T^{k}=0). [/mm]
(i) Zeigen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von T ist.
(ii) Zeigen Sie, dass der Endomorphismus [mm] (id_{v} [/mm] - T) invertierbar ist.

Hallo liebes Matheforum.net,

ich bräuchte bei obiger Aufgabe erneut eure Hilfe.

Aufgabenteil (i) habe ich so gelöst:

Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von T, d.h. [mm] \exists [/mm] v [mm] \varepsilon [/mm] V, [mm] v\not=0: (T(v)=\lambda*v) [/mm]
Wir haben einen nilpotenten Endomorphismus vorliegen; d.h. [mm] \exists [/mm] k [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit [mm] T^{k}=0 [/mm]

Nutze diese Bedingung aus:

[mm] (T(v))^{k}=(\lambda*v)^{k}=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \vee v^k=0 [/mm]
Da [mm] v\not=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \Rightarrow \lambda=0 \Rightarrow [/mm] 0 ist einziger Eigentwert von T.

Könntet ihr mir sagen. ob diese Beweisführung so schlüssig und richitg?

zu (ii): Ich möchte dies zeigen, indem ich zeige, dass T bijektiv ist. Allerdings muss ich hier zunächst wisssen, wie meine [mm] (id_{v} [/mm] - T) Abbildung aussieht. Und das weiß ich leider nicht. Wie habe ich hier meine Abbildung, wenn ich nicht weiß, wie T aussieht?
Ich habe einmal [mm] id_{v}=v, [/mm] also v=v; T ist ein Endomorphismus, sieht eigentlich doch genauso aus oder? Und wenn ich das subtrahiere, bekomme ich keine wirklich hilfreiche Abbildung. Deswegen meine Frage: Wo ist hier mein Denkfehler?

MFG

rubstudent88

        
Bezug
Eigenwert/Invertierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 30.03.2009
Autor: fred97


> Sei T: V [mm]\to[/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus des
> endlich-dimensionalen [mm]\IR-Vektorraumes[/mm] V (d.h. es existiert
> ein k [mm]\varepsilon \IN[/mm] mit [mm]T^{k}=0).[/mm]
>  (i) Zeigen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von T ist.
>  (ii) Zeigen Sie, dass der Endomorphismus [mm](id_{v}[/mm] - T)
> invertierbar ist.
>  Hallo liebes Matheforum.net,
>  
> ich bräuchte bei obiger Aufgabe erneut eure Hilfe.
>  
> Aufgabenteil (i) habe ich so gelöst:
>  
> Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von T, d.h. [mm]\exists[/mm] v [mm]\varepsilon[/mm] V,
> [mm]v\not=0: (T(v)=\lambda*v)[/mm]
>  Wir haben einen nilpotenten
> Endomorphismus vorliegen; d.h. [mm]\exists[/mm] k [mm]\varepsilon \IN[/mm]
> mit [mm]T^{k}=0[/mm]
>  
> Nutze diese Bedingung aus:
>  
> [mm](T(v))^{k}=(\lambda*v)^{k}=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \vee v^k=0[/mm]

Das ist doch völliger Blödsinn ! Du potenzierst Vektoren ?!

$Tv = [mm] \lambda [/mm] v$, also ist

            $0 = T^kv = [mm] \lambda^k [/mm] v$

Somit ist [mm] \lambda [/mm] = 0.



>  
> Da [mm]v\not=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \Rightarrow \lambda=0 \Rightarrow[/mm]
> 0 ist einziger Eigentwert von T.
>  
> Könntet ihr mir sagen. ob diese Beweisführung so schlüssig
> und richitg?
>  
> zu (ii): Ich möchte dies zeigen, indem ich zeige, dass T
> bijektiv ist. Allerdings muss ich hier zunächst wisssen,
> wie meine [mm](id_{v}[/mm] - T) Abbildung aussieht. Und das weiß ich
> leider nicht. Wie habe ich hier meine Abbildung, wenn ich
> nicht weiß, wie T aussieht?
> Ich habe einmal [mm]id_{v}=v,[/mm] also v=v; T ist ein
> Endomorphismus, sieht eigentlich doch genauso aus oder? Und
> wenn ich das subtrahiere, bekomme ich keine wirklich
> hilfreiche Abbildung. Deswegen meine Frage: Wo ist hier
> mein Denkfehler?

Das weiß ich nicht

Aber folgendes habt Ihr sicher gelernt:

$ [mm] \lambda id_{v} [/mm]  - T$ ist invertierbar [mm] \gdw \lambda [/mm] ist kein Eigenwert von T

Hilft das ?

FRED



>  
> MFG
>  
> rubstudent88


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