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| Aufgabe | 1) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von
[mm] A=\pmat{-6&9\\-21&24}
[/mm]
2)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren [mm] \lambda_{j}, v_{j} [/mm] j=1,2,3 von
[mm] A=\pmat{1&0&-1\\0&1&-1\\-1&-1&2} [/mm] |
Guten Abend.
Die oben aufgeführte Aufgabe wollte ich folgendermaßen lösen:
[mm] det(A-\lambdaE)=0
[/mm]
1)det( [mm] A-\lambdaE)=\vmat{-6-\lambda&9\\-21&24-\lambda}=\lambda^{2}-18\lambda+45
[/mm]
p/q-Formel: [mm] \lambda_{1}=9+6=15
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=9-6=3
[/mm]
Für den Eigenvektor erhalte ich folgende Gleichung:
[mm] (A-\lambda*E)*x=0 [/mm]
Für 15:
[mm] \pmat{-21&9\\-21&9}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}=0
[/mm]
Also [mm] 21x_{1}=9x_{2} [/mm] -> [mm] \frac{7}{3}x_{1}=x_{2}
[/mm]
Für 3:
[mm] \pmat{-9&9\\-21&21}*v_{2}
[/mm]
[mm] -x_{1}=x_{2}
[/mm]
2)Berechnung der Determinante führt zu:
[mm] (1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)((1-\lambda)(2-\lambda)-2)
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=1
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=3
[/mm]
Für [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] gilt [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm] für den Eigenvektor.
[mm] (A-\lambda [/mm] E)*x=0 -> A * x= 0
Für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] gilt [mm] 0.5x_{1}=x_{2}=x_{3}
[/mm]
[mm] (A-\lambda E)=\pmat{2&0&-1\\0&2&-1&\\-1&-1&3}
[/mm]
Für [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] gilt [mm] \frac{1}{4}x_{1}=x_{2}=x_{3}
[/mm]
Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Do 24.05.2012 | | Autor: | Masseltof |
Danke für die Kontrolle.
Es war wirklich spät gestern. Was für Fehler....
Grüße
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Hallo, nochmals.
Müsste für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] für [mm] a_{33} [/mm] in der Matrix nicht eine 1 stehen statt der 2?
Somit würde ich auf [mm] x_{3}=0 [/mm] , [mm] x_{2}=x_{1}+1 [/mm] kommen.
Grüße
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> Hallo, nochmals.
>
> Müsste für [mm]\lambda_{2}=1[/mm] für [mm]a_{33}[/mm] in der Matrix nicht
> eine 1 stehen statt der 2?
Hallo,
ja, ein Tippfehler.
Es ist A-1*E=$ [mm] (A-\lambda E)=\pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&1} [/mm] $
> Somit würde ich auf [mm]x_{3}=0[/mm] , [mm]x_{2}=x_{1}+1[/mm] kommen.
Das klingt abenteuerlich...
Ogottogott! Ich ahne ganz diffus, was Dir passiert ist...
Achtung, Achtung:
Du möchtest das homogene LGS (A-1*E)*x=0 lösen für die Bestimmung der Basis eines Eigenraumes.
Nicht etwa irgendein inhomogenes System.
Die Matrix
[mm] \pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&1} [/mm] --> [mm] \pmat{-1&-1&1\\0&0&-1\\0&0&0} [/mm] (ZSF)
steht für das homogene LGS
[mm] -x_1-x_2-x_3=0
[/mm]
[mm] -x_3=0
[/mm]
0=0.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Do 24.05.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort.
Ich weiß gerade selbst nicht,w as ich gemacht habe :D
Grüße
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
