Eigenwert bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 So 11.01.2015 | | Autor: | kolja21 |
| Aufgabe | Zeigen oder wiederlegen Sie für A [mm] \in \IR^{n*n}:
[/mm]
a) ist det(A)=0 so hat A einen reellen Eigenwert
b) ist det(A) [mm] \not= [/mm] 0 so hat A einen reellen Eigenwert |
Mit konkreten Beispielen finde ich bzw. Wolfram Alpha zu beiden Matrizen-Arten einen reellen Eigenwert. Der Unterschied ist nur, wenn det=0 ist, dann ist mindestens 1 Eigenwert eine 0. Aber selbst Null ist eine reelle Zahl.
Kann ich davon ausgehen, dass beide Aussagen stimmen? und wie beweise ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 11.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wenn [mm] $\det [/mm] A =0$, dann gibt es ein $x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] mit $Ax=0$, also hat A einen reellen Eigenwert, nämlich 0, wie du ja schon festgestellt hast.
Ist die Matrix A dagegen invertierbar, muss sie keinen reellen Eigenwert besitzen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Mo 12.01.2015 | | Autor: | kolja21 |
Das erschließt sich mir noch nicht. Die Formel zur Bestimmung von Eigenwerten lautet ja: [mm] A*\nu [/mm] = [mm] \lambda*v [/mm] bzw. umgeformt: [mm] (A-\lambda*I)*v=0
[/mm]
Hierbei muss [mm] det(A-\lambda*I)=0 [/mm] sein, damit die Gleichung funktioniert.
Wieso muss eine invertierbare Matrix keine Eigenwerte haben? Heißt es, es gibt Matrizen ohne Eigenwerte? Kannst du mir ein Beispiel oder sowas geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das erschließt sich mir noch nicht. Die Formel zur
> Bestimmung von Eigenwerten lautet ja: [mm]A*\nu[/mm] = [mm]\lambda*v[/mm]
> bzw. umgeformt: [mm](A-\lambda*I)*v=0[/mm]
> Hierbei muss [mm]det(A-\lambda*I)=0[/mm] sein, damit die Gleichung
> funktioniert.
> Wieso muss eine invertierbare Matrix keine Eigenwerte
> haben? Heißt es, es gibt Matrizen ohne Eigenwerte? Kannst
> du mir ein Beispiel oder sowas geben?
A ist eine reelle $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix. Sei p ihr char. Polynom, also
$p(t)=det(A-t*I)$.
Es gilt: [mm] t_0 \in \IR [/mm] ist ein Eigenwert von A [mm] \gdw p(t_0)=0.
[/mm]
1. ist det(A)=0, so ist p(0)=0, [mm] t_0=0 [/mm] ist also ein reeller Eigenwert von A.
2. ist det(A) [mm] \ne [/mm] 0, so hat A i.a. keine rellen Eigenwerte.
Beispiel: [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0},
[/mm]
hier ist [mm] p(t)=t^2+1 [/mm] . A hat komplexe Eigenwerte (welche ?), aber keine reellen.
FRED
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