Eigenwert komplexer Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 12.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo miteinander.
Ich ne kurze Frage zu folgender Polynomendivision:
(Aufgabe war Eigenwerte-,und Vektoren der komplexen 4x4 -Matrix auszurechnen) characteristisches Polynom lautet: [mm] \lambda^4-2 \lambda^3i-2 \lambda^2+2 \lambdai+1. [/mm] Ein Eigenwert ist [mm] \lambda=1, [/mm] allerdings komm ich mit der Durchführung der Polynomendivision nicht ganz klar, da ich im Term zum Teil nur Real-, und andererseits wieder nur Imaginärteile stehen hab, und schließlich mit ( [mm] \lambda-1), [/mm] also mit nur einer rellen Zahl, teilen möchte.Hab ich ne'N falschen Ansatz gemacht? Für ne'n kleinen Tipp wäre ich recht dankbar.
viele Grüße Beno.
Zasatz
Matrix lautet: [mm] \pmat{ i & 0 & 0 & 0 \\ i-1 & 1 & -2i & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 12.09.2005 | | Autor: | felixs |
> -Matrix auszurechnen) characteristisches Polynom lautet:
> [mm]\lambda^4-2 \lambda^3i-2 \lambda^2+2 \lambdai+1.[/mm] Ein
> Eigenwert ist [mm]\lambda=1,[/mm]
sollte ein eigenwert nicht auch das char. pol. annulleren?
angenommen dein polynom ist richtig, dann sieht 1 nicht nach einem eigenwert aus.
i sollte ein eigenwert sein. schau mal rechts unten in deine matrix...
gruss
--felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mo 12.09.2005 | | Autor: | choosy |
hmm wie kommst du auf dein charakteristisches polynom? ich würds über entwickeln nach 1. zeile machen, dann navch 1. spalte und schon steht das polynom in linearfaktoren da und man braucht garnichtmehr rechnen....
eigenwerte/nullstellen sind 1, -1 und i als zweichfache nullstelle denke ich,
das char polynom ist dann
[mm] $\lambda^4-2i\lambda^3-2\lambda^2+2i\lambda+1$
[/mm]
Als beispiel trotzdem mal die polynomdivision:
[mm] $\lambda^4-2\lambda^2+1-2i\lambda^3+2i\lambda [/mm] : [mm] (\lambda-1)=\lambda^3+\lambda^2-\lambda-1-2i\lambda^2-2i\lambda$
[/mm]
[mm] $\underline{-(\lambda^4-\lambda^3)}$
[/mm]
[mm] $\lambda^3-2\lambda^2$
[/mm]
[mm] $\underline{-(\lambda^3-\lambda^2)}$
[/mm]
[mm] $-\lambda^2$
[/mm]
[mm] $\underline{-(\lambda^2+\lambda)}$
[/mm]
[mm] $-\lambda+1$
[/mm]
[mm] $\underline{-(-\lambda+1)}$
[/mm]
[mm] $-2i\lambda^3$
[/mm]
[mm] $\underline{-(-2i\lambda^3+2i\lambda^2)}$
[/mm]
[mm] $-2i\lambda^2+2i\lambda$
[/mm]
[mm] $\underline{-(-2i\lambda^2+2i\lambda)}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mo 12.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
danke, an beide.
das beispiel mit der polynomendivision war gut. du hast in deinem term die real-,und die imaginäranteile sortiert. darauf wäre ich so jetzt gar nicht gekommen. hab aber jetzt die Lösung aller EW und EV.
thx nochmal
grüße Benno
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