Eigenwert mit Unbekannten "s" < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Matrix [mm] A_s [/mm] = [mm] \pmat{1 & s \\ 1 & s}
[/mm]
1) Berechnen Sie das charakteristische Polynom!
2) Wie muss s belegt werden, damit es nur einen Eigenwert gibt?
3) Wieso ist es wenn s in 2) so belegt keine diagonalisierbare Matrix? |
zu 1)
[mm] charpol_{A}(x) [/mm] = [mm] det(\pmat{x-1 & -s \\ -1 & x-s})
[/mm]
=> [mm] $(x-1)\cdot [/mm] (x-s) - [mm] (-s)\cdot [/mm] (-1)$
=> [mm] $(x^2 [/mm] - xs - x + s) - s$
=> $ [mm] x\cdot [/mm] (x - s - 1) $
Die Eigenwerte ergeben sich aus dem [mm] charpol_{A}(x) [/mm] = 0 dazu muss dann doch $ x - s - 1 = 0 $ sein:
$x = s + 1 => s = -1$
Wenn also s = -1 ist, existiert nur der EW(A) = 0.
Damit wäre 2) erledigt, aber wie mache ich nun 3 .. ?
Wenn $s = -1$ und EW(0), dann:
[mm] ER_{A}(0) [/mm] = [mm] Ker(\pmat{0 - 1 & -(-1) \\ -1 & 0 - (-1)})
[/mm]
=> $ [mm] Ker(\pmat{-1 & 1 \\ -1 & 1}) [/mm] $
=> $ [mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0}) [/mm] $
=> $ [mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -1}) [/mm] $ => [mm] dim(Ker(A_s)) [/mm] = 1 [mm] \neq [/mm] n = 2 also nicht diagonalisierbar.
Ist das richtig?
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> Matrix [mm]A_s[/mm] = [mm]\pmat{1 & s \\ 1 & s}[/mm]
>
> 1) Berechnen Sie das charakteristische Polynom!
> 2) Wie muss s belegt werden, damit es nur einen Eigenwert
> gibt?
> 3) Wieso ist es wenn s in 2) so belegt keine
> diagonalisierbare Matrix?
> zu 1)
>
> [mm]charpol_{A}(x)[/mm] = [mm]det(\pmat{x-1 & -s \\ -1 & x-s})[/mm]
>
> => [mm](x-1)\cdot (x-s) - (-s)\cdot (-1)[/mm]
> => [mm](x^2 - xs - x + s) - s[/mm]
>
> => [mm]x\cdot (x - s - 1)[/mm]
>
> Die Eigenwerte ergeben sich aus dem [mm]charpol_{A}(x)[/mm] = 0 dazu
> muss dann doch [mm]x - s - 1 = 0[/mm] sein:
Hallo,
den zweiten Eigenwert x=0 solltest Du auch erwähnen.
>
> [mm]x = s + 1 => s = -1[/mm]
>
> Wenn also s = -1 ist, existiert nur der EW(A) = 0.
Ja.
> Damit wäre 2) erledigt, aber wie mache ich nun 3 .. ?
>
> Wenn [mm]s = -1[/mm] und EW(0), dann:
>
> [mm]ER_{A}(0)[/mm] = [mm]Ker(\pmat{0 - 1 & -(-1) \\ -1 & 0 - (-1)})[/mm]
> =>
> [mm]Ker(\pmat{-1 & 1 \\ -1 & 1})[/mm]
> => [mm]Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0})[/mm]
>
> => [mm]Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -1})[/mm]
Diese Matrix ist ja Unfug, vielleicht ein Copyfehler.
=> [mm]dim(Ker(A_s))[/mm] = 1 [mm]\neq[/mm]
> n = 2 also nicht diagonalisierbar.
>
> Ist das richtig?
Ja, das wären die richtigen Folgerungen aus der vorletzten Matrix. Wenn Du Lust hast, könntest Du ja noch eine basis des Eigenraumes angeben, gefragt ist sie aber nicht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 11.02.2009 | | Autor: | stekoe2000 |
Jau, copyfehler:
[mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0})
[/mm]
=> Basis [mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0})
[/mm]
=> [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -1} [/mm] => [mm] \left{\vektor{-1 \\ -1}\right}
[/mm]
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| Aufgabe | Weiterführende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für alle anderen s [mm] \neq [/mm] -1 mehrere Eigenwerte existieren und die Matrix diagonalisierbar ist. |
[mm] $chpol_{A}(x) [/mm] = x(x-s-1)$
EW = 0, s+1 => wenn s = -1, dann nur EW = 0
[mm] ER_{A}(0) [/mm] = [mm] Ker\pmat{0-1 & -s \\ -1 & -s}
[/mm]
= [mm] Ker\pmat{-1 & -s \\ -1 & -s}
[/mm]
= [mm] Ker\pmat{1 & s \\ 0 & 0}
[/mm]
EV = [mm] \vektor{s \\ -1}
[/mm]
[mm] dim(ER_{A}(0)) [/mm] = 1
[mm] ER_{A}(s+1) [/mm] = [mm] Ker\pmat{s+1-1 & -s \\ -1 & s+1-s}
[/mm]
= [mm] Ker\pmat{s & -s \\ 1 & -1}
[/mm]
= [mm] Ker\pmat{s & -s \\ s & -s}
[/mm]
= [mm] Ker\pmat{s & -s \\ 0 & 0}
[/mm]
EV = [mm] \vektor{-s \\ -1}
[/mm]
[mm] dim(ER_{A}(s+1)) [/mm] = 1
Es existieren 2 Eigenvektoren, also ist die Matrix diagonalisierbar!
Diagonalmatrix:
D = [mm] \pmat{0 & 0 \\ 0 & s+1 }
[/mm]
Invertierbare Matrix P:
P = [mm] \pmat{s & -s \\ -1 & -1 }
[/mm]
Ich hoffe, dass das alles so richtig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Do 12.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Weiterführende Aufgabe:
>
> Zeigen Sie, dass für alle anderen s [mm]\neq[/mm] -1 mehrere
> Eigenwerte existieren und die Matrix diagonalisierbar ist.
> [mm]chpol_{A}(x) = x(x-s-1)[/mm]
>
> EW = 0, s+1 => wenn s = -1, dann nur EW = 0
>
> [mm]ER_{A}(0)[/mm] = [mm]Ker\pmat{0-1 & -s \\ -1 & -s}[/mm]
> =
> [mm]Ker\pmat{-1 & -s \\ -1 & -s}[/mm]
> = [mm]Ker\pmat{1 & s \\ 0 & 0}[/mm]
>
> EV = [mm]\vektor{s \\ -1}[/mm]
Das ist O.K.
>
> [mm]dim(ER_{A}(0))[/mm] = 1
>
> [mm]ER_{A}(s+1)[/mm] = [mm]Ker\pmat{s+1-1 & -s \\ -1 & s+1-s}[/mm]
> =
> [mm]Ker\pmat{s & -s \\ 1 & -1}[/mm]
> = [mm]Ker\pmat{s & -s \\ s & -s}[/mm]
>
> = [mm]Ker\pmat{s & -s \\ 0 & 0}[/mm]
>
> EV = [mm]\vektor{-s \\ -1}[/mm]
Das ist nicht O.K. [mm] \vektor{-s \\ -1} [/mm] ist kein Eigenvektor zum Eigenwert 1+s !!
Ein Eigenvektor wäre [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
FRED
>
> [mm]dim(ER_{A}(s+1))[/mm] = 1
>
> Es existieren 2 Eigenvektoren, also ist die Matrix
> diagonalisierbar!
>
> Diagonalmatrix:
> D = [mm]\pmat{0 & 0 \\ 0 & s+1 }[/mm]
>
> Invertierbare Matrix P:
> P = [mm]\pmat{s & -s \\ -1 & -1 }[/mm]
>
>
> Ich hoffe, dass das alles so richtig ist?
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