Eigenwert nilpotenter Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:30 Sa 29.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Zeige, dass nilpotente Matrizen nur Eigenwert Null haben. |
Hi,
ich habe mir gerade diese Frage gestellt und frage mich, ob man es einfach so beweisen kann.
Da A nilpotent ist existiert ein natürliches k mit [mm] $A^k=0$. [/mm]
Dann ist
[mm] $det(A-\lambda E)=det(A^kA^{-k+1}-\lambda E)=det(-\lambda E)=(-1)^n\lambda^n=0\Rightarrow \lambda=0$
[/mm]
Das müsste doch in Ordnung sein, oder?
Ich nutze aus, dass [mm] $A^k=0$ [/mm] ist, dann fällt dieser Term weg und die Determinante der Einheitsmatrix mit nur [mm] $\lambda$ [/mm] auf der Diagonalen kann ich leicht berechnen.
Edit:
Nein, ich denke meine Rechnung ist nicht richtig, weil der Ausdruck [mm] A^{-k} [/mm] für nilpotente Matrizen nicht definiert sein müsste, da sie nicht invertierbar sind...
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Dein Edit stimmt schonmal.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Sa 29.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass nilpotente Matrizen nur Eigenwert Null haben.
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> Hi,
>
> ich habe mir gerade diese Frage gestellt und frage mich, ob
> man es einfach so beweisen kann.
>
> Da A nilpotent ist existiert ein natürliches k mit [mm]A^k=0[/mm].
> Dann ist
>
> [mm]det(A-\lambda E)=det(A^kA^{-k+1}-\lambda E)=det(-\lambda E)=(-1)^n\lambda^n=0\Rightarrow \lambda=0[/mm]
>
> Das müsste doch in Ordnung sein, oder?
> Ich nutze aus, dass [mm]A^k=0[/mm] ist, dann fällt dieser Term weg
> und die Determinante der Einheitsmatrix mit nur [mm]\lambda[/mm] auf
> der Diagonalen kann ich leicht berechnen.
>
>
> Edit:
>
> Nein, ich denke meine Rechnung ist nicht richtig, weil der
> Ausdruck [mm]A^{-k}[/mm] für nilpotente Matrizen nicht definiert
> sein müsste, da sie nicht invertierbar sind...
Sei Ax= [mm] \lambda [/mm] x.
Berechne A^kx.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 29.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Naja, dann multipliziere ich einfach [mm] $A^{k-1}$ [/mm] mal die Matrix A dazu. Dann ist
[mm] $0=A^{k-1}\lambda [/mm] x$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Sa 29.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo YuSul!
Sei $A$ eine nilpotente [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix mit Koeffizienten in einem Körper $K$.
Sei [mm] $\lambda\in [/mm] K$ ein Eigenwert von $A$.
Zu zeigen ist [mm] $\lambda=0$.
[/mm]
Da $A$ nilpotent ist, existiert ein [mm] $k\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $A^k=0$.
[/mm]
Da [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von $A$ ist, existiert ein [mm] $x\in K^n$ [/mm] mit [mm] $x\not=0$, [/mm] für das [mm] $Ax=\lambda [/mm] x$ gilt.
> Naja, dann multipliziere ich einfach [mm]A^{k-1}[/mm] mal die Matrix
> A dazu. Dann ist
>
> [mm]0=A^{k-1}\lambda x[/mm]
Ja, denn es gilt
(1) $A^kx=0x=0$ und
(2) [mm] $A^kx=(A^{k-1}A)x=A^{k-1}(Ax)=A^{k-1}(\lambda [/mm] x)$.
Anstelle von (2) ist eine konkretere Darstellung von $A^kx$ möglich.
Betrachten wir diesen Ausdruck mal für kleine k, um eine Vermutung für beliebige k zu gewinnen:
Im Falle $k=1$ erhalten wir
[mm] $A^1x=Ax=\lambda [/mm] x$.
Im Falle $k=2$ erhalten wir
[mm] $A^2x=(AA)x=A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda (Ax)=\lambda(\lambda x)=(\lambda\lambda)x=\lambda^2x$.
[/mm]
Bringt dich das auf eine Vermutung für beliebiges k?
Wenn ja: Beweise sie durch vollständige Induktion nach k.
Wenn nein: Spiele den Fall k=3 durch.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 29.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, ok. Diese Vorgehensweise kann man induktiv fortsetzen bis man eben irgendwann den Nilpotenzgrad k erreicht. Zu dem Zeitpunkt hat man dann aber bereits
[mm] $\lambda^kx=0$ [/mm] da stehen, wegen [mm] $A^k=0$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 29.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ah, ok. Diese Vorgehensweise kann man induktiv fortsetzen
> bis man eben irgendwann den Nilpotenzgrad k erreicht. Zu
> dem Zeitpunkt hat man dann aber bereits
>
> [mm]\lambda^kx=0[/mm] da stehen, wegen [mm]A^k=0[/mm]
Ja, es gilt [mm] $A^kx=\lambda^kx$ [/mm] und somit erhalten wir in Kombination mit Gleichung (1) aus meiner vorherigen Antwort tatsächlich [mm] $\lambda^kx=0$.
[/mm]
Was folgt nun aus [mm] $x\not=0$?
[/mm]
(Erinnerung: Ziel ist, [mm] $\lambda=0$ [/mm] zu zeigen.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 29.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Da x nicht Null ist, muss (nach dem Satz vom Nullprodukt) [mm] $\lambda^k=0$ [/mm] sein, also [mm] $\lambda=0$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 29.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Da x nicht Null ist, muss (nach dem Satz vom Nullprodukt)
> [mm]\lambda^k=0[/mm] sein, also [mm]\lambda=0[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau so ist es!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 29.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Gut. :)
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Sa 29.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Allgemein gilt für eine quadratische Matrix A und ein Polynom p:
ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] p(\lambda) [/mm] ein Eigenwert von p(A).
Zeige dies !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 29.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Folgt das zufällig einfach aus dem Satz von Cayley Hamilton?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Sa 29.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Folgt das zufällig einfach aus dem Satz von Cayley
> Hamilton?
Nein. Und wenn es aus diesem Satz folgen würde, waäre es nicht zufällig.
FRED
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