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| Aufgabe | Seien K ein Körper, [mm] \lambda \in [/mm] K, n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}.
1. Seien m [mm] \in \IN, [/mm] A [mm] \in M_{n} [/mm] (K) und [mm] $P=a_{m}X^m+ a_{m-1}X^{m-1}+....+ a_{2} X^2+ a_{1}X+ a_{0} \in [/mm] K[X]$.
Zeigen Sie: [mm] $\lambda$ [/mm] ist ein Eigenwert von A [mm] \Rightarrow P(\lambda) [/mm] ist ein Eigenwert von P(A), wobei [mm] P(A):=a_{m}A^m+ a_{m-1}A^{m-1}+....+ a_{2}A^2+ a_{1}A+ a_{0}I_{n}
[/mm]
2. Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f: V--> V ein Endomorphismus.
Zeigen Sie: [mm] \ambda [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] f\Rightarrow\lambda [/mm] ist ein Eigenwert von f*. |
Hallo ihr Lieben!
Bei dieser Aufgabe verstehe ich gar nüscht! Eigenwerte kann ich mit MAtrizen berechnen, aber hier weiß ich nicht, was die von mir wollen. Bitte um Erklärung und evtl. Ansätze!!
Danke, LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mi 11.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich mache mal ein Beispiel, vielleicht wird's dann klarer.
Sei m=1 dann sind ist
[mm] P(x)=a_1*x+a_0 [/mm] und
[mm] P(A)=a_1*A+a_0*I
[/mm]
Zu zeigen währe
[mm] P(\lambda)=a_1*\lambda+a_0 [/mm] ist Eigenwert von [mm] a_1*A+a_0*I, [/mm] also
[mm] (a_1*A+a_0*I)v=(a_1*\lambda+a_0)v [/mm] oder
[mm] a_1*(A-\lambda*I)v+a_0*(I-I)v=0 \gdw
[/mm]
[mm] a_1*(A-\lambda*I)v=0. [/mm] Das ist aber richtig, weil [mm] \lambda [/mm] ja Eigenwert von A ist.
Ähnlich ist die Verallgemeinerung
Noch eine Frage, was ist f*.
mfg ullim
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Hi! Was ist bei dir das v?
Was f* ist, ist bei uns auch nicht angegeben...ich weiß es ehrlich gesagt nicht. Mit einem * haben wir sonst duale Basen gekennzeichnet.
Und wie muss ich an die Verallgemeinerung rangehen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 11.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
v ist der zu [mm] \lambda [/mm] gehörende Eigenvektor.
mfg ullim
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kann ich denn überhaupt m=1 setzen??? Geht das einfach so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mi 11.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann ich denn überhaupt m=1 setzen??? Geht das einfach so?
Nein, das kannst du allgemein nicht. Ullim hat dir nur einen Spezialfall vorgefuehrt, naemlich den Fall $m = 1$. Den allgemeinen Fall musst du selber loesen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
DU musst es fuer ein beliebiges m zeigen! was du zeigen musst kann man fuer ein spezielles m z.Bsp m=1 oder m= 2 erklaeren
Guss leduart
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Ich habe das jetzt gemacht, habe da aber dann 2 ziemlich lange Polynome gleichgesetzt und versucht, die Gleichung zu lösen....also, ich habe es quasi in den schritten gemacht wie für m=1 ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Do 12.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
zu zeigen ist ja, das aus [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von A folgt
[mm] p(\lambda)=\summe_{k=0}^{m}a_k\lambda^k [/mm] ist Eigenwert von [mm] p(A)=\summe_{k=0}^{m}a_kA^k
[/mm]
Sei also v ein Eigevektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Betrachte
[mm] p(A)v-p(\lambda)v=\summe_{k=0}^{m}a_k(A^kv-\lambda^kv)
[/mm]
wenn v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist, dann gilt [mm] Av=\lambda{v}, [/mm] daraus folgt [mm] A^2v=\lambda{Av}=\lambda^2{v} [/mm] und allgemein gilt deshalb [mm] A^kv=\lambda^kv
[/mm]
Also gilt [mm] p(A)v=p(\lambda)v [/mm] und [mm] p(\lambda) [/mm] ist Eigenwert von p(A).
mfg ullim
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Ok, danke! Ich hatte da wohl was falsch...
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