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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 11.07.2007 | | Autor: | stefam |
| Aufgabe | Sei dimV = n < [mm] \infty [/mm] und L [mm] \in [/mm] End(V ). Zeigen Sie:
(a) Ist p [mm] \in [/mm] K[x] und ist [mm] \lambda \in [/mm] K ein Eigenwert von L, dann ist p( [mm] \lambda [/mm] ) ein Eigenwert des Endomorphismus p(L). |
Hallo an Alle
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Ok, das heißt doch, dass es ein v gibt mit L(v)= [mm] \lambda [/mm] V.
Dann folgt [mm] p(L(v))=p(\lambda [/mm] v).
Das ist gleich [mm] p(L)(v)=p(\lambda)(v).
[/mm]
Das ist die Aussage,oder?
Gruß
stefam
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> Sei dimV = n < [mm]\infty[/mm] und L [mm]\in[/mm] End(V ). Zeigen Sie:
> (a) Ist p [mm]\in[/mm] K[x] und ist [mm]\lambda \in[/mm] K ein Eigenwert von
> L, dann ist p( [mm]\lambda[/mm] ) ein Eigenwert des Endomorphismus
> p(L).
> Hallo an Alle
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> Ok, das heißt doch, dass es ein v gibt mit L(v)= [mm]\lambda[/mm]
> V.
das ist in Ordnung: esgibt ein v gibt mit L(v)= [mm]\lambda[/mm]v
Jetzt sollte man m.E. vorsichtiger formulieren:
Es gibt einen (möglicherweise anderen) Vektor w so dass
(p(L))(w)=p( [mm]\lambda[/mm])w ist.
Jetzt kannst Du natürlich versuchen ob es mit w=v funktioniert.
> Dann folgt [mm]p(L(v))=p(\lambda[/mm] v).
> Das ist gleich [mm]p(L)(v)=p(\lambda)(v).[/mm]
> Das ist die Aussage,oder?
>
> Gruß
>
> stefam
Gruß Korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mi 11.07.2007 | | Autor: | stefam |
Also setze ich hier für v w ein [mm]p(L(v))=p(\lambda[/mm] v).
[mm]p(L)(v)=p(\lambda)(v).[/mm]?Und wie zeige ich dann v=w?
Verstehe ich gerade nicht
Gruß
stefam
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> Also setze ich hier für v w ein [mm]p(L(v))=p(\lambda[/mm] v).
> [mm]p(L)(v)=p(\lambda)(v).[/mm]?Und wie zeige ich dann v=w?
> Verstehe ich gerade nicht
Hallo,
korbinian hat ja nur vorsichtshalber darauf hingewiesen, daß ohne weitere Untersuchungen nicht gesagt ist, daß ausgerechnet Dein v der Eigenvektor von p(L) ist.
Man könnte es ja aber trotzdem mal ausrechnen, was (p(L))v ergibt - vielleicht hast Du Glück... (Du hast!)
Überlegen wir uns erstmal, was [mm] p\in [/mm] K[x] bedeutet: p ist ein Polynom mit Koeffizienten aus K,
also ist [mm] p(x)=a_nx^n+a^{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0x^0.
[/mm]
Setzt Du nun für x Dein L ein, hast Du den Homomorphismus p(L).
Bevor Du ins Finale startest, überlege Dir noch, was L^kv ergibt - v ist ja der EV zum EW [mm] \lambda.
[/mm]
Wenn Du das weißt, berechne p(L)v.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 11.07.2007 | | Autor: | stefam |
Ok, ich habe schon das Problem, wie ich L in p einsetzen kann?
Wie gehe ich da vor?
Gruß
stefam
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Hallo
das ist wirklich erklärungsbedürftig; also: setze "formal" L für x ins Polynom ein. Aus dem Exponenten "wird" die mehrmalige Ausführung der linearen Abbildung (Komposition). Die Multiplikation einer linearen Abbildung mit einer reellen Zahl ist definiert. Rätselhaft ist noch der konstante Summand. Er wird mit der identischen Abbildung multipliziert.
Wenns noch unklar ist, melde dich bitte nochmal
Gruß Korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Do 12.07.2007 | | Autor: | stefam |
Guten Morgen!
Also habe ich das L jetzt für x in p(x) eingesetzt.
Jetzt bekomme ich für [mm] (Lv)^n [/mm] also [mm] (\lambda v)^n?
[/mm]
Gruß stefam
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> Also habe ich das L jetzt für x in p(x) eingesetzt.
Hallo,
dann sollte jetzt
[mm] p(L)=a_nL^n+a^{n-1}L^{n-1}+...+a_1L+a_0E
[/mm]
dastehen.
Bevor wir jetzt munter weitermachen, denken wir erstmal nach.
In der Aufgabe steht, daß p(L) ein Endomorphismus ist. Ist das sinnvoll?
Ja, denn auf der rechten Seite haben wir die Summe von lauter Matrizen.
Also ist p(L) eine Matrix. Nun schauen wir nach, ob v ein Eigenvektor ist:
Es ist
[mm] \underbrace{p(L)}_{Matrix}v=\underbrace{(a_nL^n+a^{n-1}L^{n-1}+...+a_1L+a_0E)}_{Matrizen}v=a_nL^nv+???=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 12.07.2007 | | Autor: | stefam |
Hallo,
Dann ist
> [mm]\underbrace{p(L)}_{Matrix}v=\underbrace{(a_nL^n+a^{n-1}L^{n-1}+...+a_1L+a_0E)}_{Matrizen}v=a_nL^nv+???=...[/mm]
[mm] =a_{n}(\lambda^{n})v+....???
[/mm]
Irgendwie bringt mich das nicht weiter.
Gruß
stefam
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Hallo,
Du musst konsequent weitermachen:
> Dann ist
> >
> [mm]\underbrace{p(L)}_{Matrix}v=\underbrace{(a_nL^n+a^{n-1}L^{n-1}+...+a_1L+a_0E)}_{Matrizen}v=a_nL^nv+???=...[/mm]
[mm]=a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v[/mm]
> Irgendwie bringt mich das nicht weiter.
> Gruß
>
> stefam
Gruß Korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Do 12.07.2007 | | Autor: | stefam |
> [mm]=a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v[/mm]=p( [mm] \lambda [/mm] )
und daraus folgt dann, dass p( [mm] \lambda [/mm] ) EW?
Gruß
stefam
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> [mm]=a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v[/mm]=p(
> [mm]\lambda[/mm] )
Hallo,
es ist [mm] a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v [/mm] doch nicht [mm] =p(\lambda)! [/mm] (Sondern nach wie vor =p(L)v.)
Was ist denn [mm] p(\lambda)? [/mm] Es ist eine Zahl. Schreib den Ausdruck mal auf. Erstens übet es, und zweitens brauchst Du ihn.
Jetzt schau Dir [mm] a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v [/mm] an. Jeder Summand ist ein Vektor - also kann das Ergebnis doch keine Zahl sein.
Wenn Dir das klar geworden ist, tu folgendes: klammere in [mm] a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v
[/mm]
den Vektor v aus.
Dann hast Du stehen p(L)v=(...)v.
Hieraus ziehe Deine Schlüsse.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Do 12.07.2007 | | Autor: | stefam |
Ok, ich glaub ich habe es:
p(L)(v)=[mm]a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v[/mm]
=([mm]a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+......+a_{1}\lambda^{1}+a_{0}\lambda^{0}[/mm])v
[mm] =p(\lambda)v
[/mm]
Und daraus folgt die Aussage, da [mm] p(L)(v)=p(\lambda) [/mm] (v), oder?
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> Ok, ich glaub ich habe es:
>
> p(L)(v)=[mm]a_{n}\lambda^{n}v+a_{n-1}\lambda^{n-1}v+a_{n-2}\lambda^{n-2}v+......+a_{1}\lambda^{1}v+a_{0}\lambda^{0}v[/mm]
>
> =([mm]a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+......+a_{1}\lambda^{1}+a_{0}\lambda^{0}[/mm])v
> [mm]=p(\lambda)v[/mm]
> Und daraus folgt die Aussage, da [mm]p(L)(v)=p(\lambda)[/mm] (v),
> oder?
Genau!
Gruß Korbinian
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