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Hallo, Ich habe ein problem
Ich muss zeigen, dass wenn A eine nXn-Matrix ist, dann ist die nicht invertierbar wenn 0 eigenwert von A ist
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 12.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Johann
Sei f eine lineare (Selbst-) Abbildung, die bezüglich einer Basis die Matrix A hat.
Ueberlege dir einmal, was es heisst, dass 0 ein Eigenwert ist.
Es muss einen Eigenvektor [mm]\not=0[/mm] geben. Auf welchen Vektor
wird dieser Eigenvektor abgebildet?
(Genau!)
Also ist der Kern der Abbildung f nicht leer und damit ist f
nicht bijektiv und daher die Matrix A nicht invertierbar.
mfG Moudi
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Aber warum hat A Eigenvektor [mm] \not= [/mm] 0, wenn eigenwert 0 ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 12.01.2005 | | Autor: | moudi |
Das gehört zur Definition von Eigenwert einer linearen Abbildung f.
Eine Zahl [mm]\lambda[/mm] heisst Eigenwert von f, wenn es einen Vektor [mm]v\not=0[/mm] gibt
mit [mm]f(v)=\lambda v[/mm].
Sonst wäre ja jede Zahl Eigenwert, weil [mm]f(0)=\lambda 0[/mm] immer gilt.
mfG Moudi
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Sorry aber kannst du noch sagen wieso ist wenn Fnicht bijektiv ist [mm] \Rightarrow [/mm] A ist nicht invertierbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 12.01.2005 | | Autor: | moudi |
Wird gemacht.
Wenn f nicht bijektiv ist, also wenn ker(f) nicht der 0-dimensional ist. Oder
wenn [mm] $v\not=0$ [/mm] existiert mit f(v)=0. Dann werden zwei verschiedene Vektoren auf 0 abgebildet. Nämlich v und 0 selber. Die Umkehrabbildung müsste dann die 0 auf zwei verschiedene Vektoren abbilden, was nicht geht. Das heisst es kann keinen Vektor für die Umkehrabbildung geben, der auf v abgebildet wird.
Also gibt es auch keine Umkehrabbildung.
Ist die Matrix A hingegen invertierbar, dann ist [mm] $A^{-1}$ [/mm] die Matrix der Umkehrabbildung. Wenn A regulär ist, ist die zugehörige Abbildung bijektiv.
mfG Moudi
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