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Ich muss das in 3 h abgeben haben, aber ich verstehe es einfach nicht. Ich weiß, dassf(v)=lamda*v ist.Ich verstehe echt gar nichts... Kann mir einer mal bitte den Rechenweg sagen? Bitte 
Gegeben sei die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ -3 & -5 } [/mm] mit Eigenwerte lamda1 = -2 und lamda2 = -3.
(a) Bestimmen Sie zu den Eigenwerte lamda1 = -2 und lamda2 = -3 je einen Eigenvektor v1 und v2
(b) Geben Sie die darstellende Matrix bezuglich v1, v2 an und berechnen Sie [mm] A^6 \vektor{3 \\ -4}
[/mm]
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Hi
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Den Rechenweg kann ich dir nicht vorführen aber ich kann dir sagen was du zu tun hast.
Gegeben ist ja die Matrix [mm] \\A=\pmat{ 2 & 2 \\ -3 & -5 } [/mm] Um die Eigenwerte zu berechnen, rechnest du ja [mm] \\A-\lambda\\E=\pmat{ 2-\lambda & 2 \\ -3 & -5-\lambda } [/mm] Die Eigenwerte haben wir ja schon gegeben oder du hast sie ausgerechnet ich weiss es nicht. Setze nun die den ersten Eigenwert also [mm] \lambda=-2 [/mm] in die obige Matrix ein also [mm] \\A-(-2)\\E \Rightarrow \pmat{ 4 & 2 \\ -3 & -3 }\cdot\\x=\vektor{0 \\ 0 } [/mm] Bringe nun die Matrix auf eine Dreiecksform um dann die Eigenvektoren zu erhalten.
P.S Was mir gerade auffällt ist dass die Eigenwerte falsch sind. Ich erhalte andere Eigenwerte. Woher hast du sie?
zur zweiten aufgabe: Hier handelt es sich denke ich darum den Eigenraum aufzustellen. Wie habt ihr dass denn in der Vorlsung definert?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Entschuldigung ich habe mih verschrieben. Die matrix geht so:
[mm] \\A=\pmat{ 0 & 2 \\ -3 & -5 }
[/mm]
was soll das (* x) nach dem einsetzen?
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Hi,
das [mm] \\x [/mm] sollte eigentlich ein [mm] \vec{x} [/mm] sein also für [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] stehen.
Ja jetzt sind die Eigenwerte richtig
Gruß
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Hallo,
vllt. nochmal zum Verständnis:
Deine Matrix A ist Darstellungsmatrix bzgl. irgendeiner linearen Abbildung [mm] $f:\IR^2\to\IR^2$
[/mm]
Das x entspricht dem v in deinem obersten post. [mm] ($v=\vektor{v_1\\v_2}$)
[/mm]
Du hast geschrieben, dass du weißt, dass du Eigenvektoren über das Lösen der Gleichung
[mm] $f(v)=\lambda\cdot{}v$ [/mm] bestimmen kannst. [mm] ($\lambda$: [/mm] Eigenwert)
Nun ist A Darstellungsmatrix von f bzgl. einer Basis,also ist doch [mm] $f(v)=A\cdot{}v$ [/mm] (so ist das ja definiert)
Also kannst du anstatt die Gleichung [mm] $f(v)=\lambda\cdot{}v$ [/mm] zu lösen, dies betrachten:
[mm] $A\cdot{}v=\lambda\cdot{}v$
[/mm]
[mm] $\gdw A\cdot{}v-\lambda\cdot{}v=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_2)\cdot{}v=0$
[/mm]
sprich: zu bestimmen ist der Kern der Matrix [mm] $(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_2)$ [/mm] bzw. die Lösungsmenge der (Matrix-)Gleichung [mm] $(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_2)\cdot{}v=0$
[/mm]
Ein (Lösungs-)Vektor [mm] \neq [/mm] 0 daraus ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$
[/mm]
So kommt die obige Matrixgleichung in Tyskies post zustande
LG
schachuzipus
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also zeilenstufenform ist dann:
[mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] *x= [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
was nun?
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Hey,
dies bedeutet übersetzt ja: [mm] 2x_1+2x_2=0. [/mm] Jetzt kannst du ein Parameter frei wählen, z.B. [mm] x_1:=1 [/mm] und dann [mm] x_2 [/mm] ausrechnen.
Damit hast du dann deinen Eigenvektor zu -2.
Analog musst du bei dem anderen Eigenvektor vorgehen.
Gruß Patrick
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ok super vielen Dank.
Und bzgl. b?
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Es ist [mm] Q=[v_1 v_2] [/mm] die darstellende Matrix des Eigenraums.
Wenn du nun [mm] Q^{-1}AQ [/mm] rechnest bekommst du eine Diagonalmatrix, sodass du ganz einfach die Potenz berechnen kannst.
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