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| Aufgabe | Gegeben seien der Vektorraum [mm] R\le [/mm] 2(x), die lineare Abbildung [mm] L:R\le 2(x)\rightarrow R\le [/mm] 2(x) sowie die folgenden Bilder von L:
[mm] L(x^2+x)=x+1, [/mm] L(x+1)=5x+5, [mm] L(x^2+1)=-x^2-1
[/mm]
a.) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung L.
b.)Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm] L_B [/mm] von L bzgl. der Basis
[mm] B=(x^2+x,x+1,x^2+1)
[/mm]
c.)Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von L.
d.)Ist L eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung. |
Hallo,
ich komme mit a nicht klar.Wenn ich die lineare Abbildung hab, weiß ich,wie ich b,c und d berechne.
Zu a habe ich mir überlegt
[mm] L(x^2+x)=x+1 [/mm] Eigenwert ist x, Eigenvektor ist [mm] x^2+x
[/mm]
L(x+1)=5x+5 Eigenwert ist 1/5 Eigenvektor ist x+1
[mm] L(x^2+1)=-x^2-1 [/mm] Eigenwert ist -1 Eigenvektor ist [mm] x^2+1
[/mm]
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 So 03.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien der Vektorraum [mm]R\le[/mm] 2(x), die lineare
> Abbildung [mm]L:R\le 2(x)\rightarrow R\le[/mm] 2(x) sowie die
> folgenden Bilder von L:
>
> [mm]L(x^2+x)=x+1,[/mm] L(x+1)=5x+5, [mm]L(x^2+1)=-x^2-1[/mm]
>
> a.) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen
> Eigenräume der linearen Abbildung L.
> b.)Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm]L_B[/mm] von L bzgl.
> der Basis
> [mm]B=(x^2+x,x+1,x^2+1)[/mm]
> c.)Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von L.
> d.)Ist L eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung.
> Hallo,
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> ich komme mit a nicht klar.Wenn ich die lineare Abbildung
> hab, weiß ich,wie ich b,c und d berechne.
>
> Zu a habe ich mir überlegt
> [mm]L(x^2+x)=x+1[/mm] Eigenwert ist x, Eigenvektor ist [mm]x^2+x[/mm]
> L(x+1)=5x+5 Eigenwert ist 1/5 Eigenvektor ist x+1
> [mm]L(x^2+1)=-x^2-1[/mm] Eigenwert ist -1 Eigenvektor ist [mm]x^2+1[/mm]
Das ist Unfug !
[mm] \lambda \in \IR [/mm] ist Eigenwert von L [mm] \gdw [/mm] es ex. ein Polynom p [mm] \ne [/mm] 0 vom Grad [mm] \le [/mm] 2 mit
[mm] L(p)=\lambda [/mm] p
FRED
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wie muss ich also vorgehen?
Gruß
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Hallo Student89,
> Hallo,
>
> wie muss ich also vorgehen?
> Zu a habe ich mir überlegt
> $ [mm] L(x^2+x)=x+1 [/mm] $ Eigenwert ist x, Eigenvektor ist $ [mm] x^2+x [/mm] $
Hier muss der Eigenwert eine reelle Zahl sein.
> L(x+1)=5x+5 Eigenwert ist 1/5 Eigenvektor ist x+1
Hier muss es doch lauten:
L(x+1)=5x+5 Eigenwert ist 5 Eigenvektor ist x+1
Das Polynom lautet hier x+1.
> $ [mm] L(x^2+1)=-x^2-1 [/mm] $ Eigenwert ist -1 Eigenvektor ist $ [mm] x^2+1 [/mm] $
Hier lautet das Polynom [mm]x^{2}+1[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt ist noch die Frage, zu welchem Eigenwert
[mm]L(x^2+x)=x+1[/mm]
gehört.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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hallo,
[mm] (x^2+x)(1/x)=(x+1) [/mm] Eigenwert ist 1/x , also nehm ich einfach die 1 als Eigenwert 1*(1/x)
Ich würde noch gern wissen, wie man die lineare Abbildung berechnet.
Gruß
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hallo,
ich habe noch eine Frage mit Eigenräume in Aufgabenteil a sind doch die Eigenvektoren gemeint, oder ?
Gruß
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Hallo Student89,
> hallo,
>
> ich habe noch eine Frage mit Eigenräume in Aufgabenteil a
> sind doch die Eigenvektoren gemeint, oder ?
>
Die Eigenräume werden von den Eigenvektoren aufgespannt.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo Student89,
> hallo,
>
> [mm](x^2+x)(1/x)=(x+1)[/mm] Eigenwert ist 1/x , also nehm ich
> einfach die 1 als Eigenwert 1*(1/x)
Das ist nicht richtig. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Ich würde noch gern wissen, wie man die lineare Abbildung
> berechnet.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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hallo,
Könntest du mir vielleicht ein Tipp geben, wie ich auf den Eigenwert komme.
Gruß
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Hallo Student89,
> hallo,
>
> Könntest du mir vielleicht ein Tipp geben, wie ich auf den
> Eigenwert komme.
Betrachte
[mm]L(x^{2}+x)=x+1[/mm]
[mm]L(x+1)=5x+5=5*\left(x+1\right)[/mm]
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
dann muss EW=1/x sein, da [mm] (x^2+x)(1/x)=(x+1).
[/mm]
Könntest du mir bitte noch sagen, wie ich die lineare Abbildung bestimmen kann.
Gruß
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> Hallo,
>
> dann muss EW=1/x sein, da [mm](x^2+x)(1/x)=(x+1).[/mm]
Hallo,
nein, ein Eigenwert muß doch eine reelle zahl sein und nicht eine Funktion in Abhängigkeit von x.
Du solltest Dich von dem Gedanken trennen, daß Dir die Eigenvektoren komplett serviert werden. Bei zweien ist das ja geschehen, beim dritten muß man das Hirn anknipsen.
Welche Dimension hat denn das Bild von L?
Welche Dimension hat der Kern?
Kannst Du einen Vektor sagen, der im Kern liegt?
Gruß v. Angela
>
> Könntest du mir bitte noch sagen, wie ich die lineare
> Abbildung bestimmen kann.
>
> Gruß
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> Gegeben seien der Vektorraum [mm]R\le[/mm] 2(x), die lineare
> Abbildung [mm]L:R\le 2(x)\rightarrow R\le[/mm] 2(x) sowie ....
Hallo Student89,
nach einigem Nachdenken habe ich schließlich heraus-
gefunden, was für ein Vektorraum da wohl gemeint
sein mag.
Zuallererst habe ich mich aber - so wie vermutlich die
meisten anderen Leser auch - gefragt:
Hä ??? welcher Vektorraum ???
Eine Bezeichnung wie [mm]R\le 2(x)[/mm] ist, wenn man sie nicht
in einem passend eingeleiteten Kontext antrifft,
schlicht und einfach unverständlich !
Also, sag uns mal noch klar, was damit gemeint sein
soll !
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich habe [mm] K_B [/mm] bestimmt. [mm] K_B: R\le(x)\rightarrow R^3
[/mm]
[mm] ax^2+bx+c \rightarrow \begin{pmatrix} 0,5(a-b-c)\\ -0,5b \\ 0,5(a-b+c) \end{pmatrix}
[/mm]
So jetzt brauche ich L,um [mm] L_B [/mm] zu bestimmen.Kann mir jemand sagen, wie ich L bestimmen kann.
Gruß
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> Hallo,
>
> ich habe [mm]K_B[/mm] bestimmt. [mm]K_B: R\le(x)\rightarrow R^3[/mm]
>
> [mm]ax^2+bx+c \rightarrow \begin{pmatrix} 0,5(a-b-c)\\ -0,5b \\ 0,5(a-b+c) \end{pmatrix}[/mm]
>
> So jetzt brauche ich L,um [mm]L_B[/mm] zu bestimmen.Kann mir jemand
> sagen, wie ich L bestimmen kann.
>
> Gruß
Meine vorherige Mitteilung hast du offenbar ignoriert.
Was soll man sich denn nun unter " [mm] R\le(x) [/mm] " vorstellen ??
Und was sollen L und [mm] L_B [/mm] mit [mm] K_B [/mm] zu tun haben ?
Al-Chw.
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Hallo,
Wenn du mir L sagst, zeige ich dir was L und [mm] L_B [/mm] mit [mm] K_B [/mm] zu tun hat.
Gruß
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> Hallo,
>
> Wenn du mir L sagst,
L !
(zufrieden ?)
> zeige ich dir was L und [mm]L_B[/mm] mit [mm]K_B[/mm] zu
> tun hat.
>
> Gruß
Ich denke, dass es an dir läge, die Aufgabe und die darin
verwendeten Bezeichnungen klar zu machen. Das heißt
nicht, dass du ihre Lösungen schon kennen solltest, aber
ihre Bedeutungen erläutern.
Al-Chw.
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> Hallo,
>
> Wenn du mir L sagst,
Hallo,
L ist doch die in der Aufgabenstellung definierte Abbildung.
Gruß v. Angela
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Hallo,
die Bilder von L sind gegeben.L muss man bestimmen.
Gruß
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> Hallo,
>
> die Bilder von L sind gegeben.L muss man bestimmen.
Hallo,
da L eine lineare Abbildung ist, ist sie durch Angabe der Werte auf einer Basis bereits eindeutig bestimmt.
Wenn Du eine Zuordnungsvorschrift möchtest, brauchst Du nur zu schreiben
[mm] L(rb_1+sb_2+sb_3)= rL(b_1)+sL(b_2)+tL(b_3), [/mm] wobewi [mm] (b_1,b_2, b_3) [/mm] die Basis ist.
Möglicherweise aber gelüstet Dir danach, [mm] L(ax^2+bx+c) [/mm] anzugeben.
Das gelingt Dir z.B., indem Du [mm] ax^2+bx+c [/mm] als Linearkombionation der [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] schreibst und dann die Linearität verwendest.
Gruß v. Angela
>
> Gruß
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Hallo,
meinst du [mm] \alpha_1(x^2+x)+\alpha_2(x+1)+ \alpha_3(x^2+1)=ax^2+bx+c
[/mm]
dann bekomme ich aber [mm] K_B [/mm] heraus.
Gruß
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Hallo,
So jetzt habe ich die Bilder von L in [mm] K_B [/mm] eingesetzt und bekomme für [mm] L_B=
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & -5 &0\\
-0,5 & -2,5 &0\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
Gruß
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> Hallo,
>
> So jetzt habe ich die Bilder von L in [mm]K_B[/mm] eingesetzt und
> bekomme für [mm]L_B=[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} -1 & -5 &0\\
-0,5 & -2,5 &0\\
0 & 0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
Hallo,
diese Matrix ist nicht die Matrix [mm] L_B.
[/mm]
[mm] L_B [/mm] ist doch die Darstellungsmatrix von L bzgl der Basis B.
Sprüchlein: "In den Spalten der Darstellungsmatrix von L bzgl. der Basis B stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B."
Du mußt also [mm] L(b_i) [/mm] jeweils als Linearkombination von [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] schreiben, was im Falle Deiner Abbildung mit extrem wenig Arbeit verbunden ist.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> meinst du [mm]\alpha_1(x^2+x)+\alpha_2(x+1)+ \alpha_3(x^2+1)=ax^2+bx+c[/mm]
Hallo,
so ungefähr meinte ich das.
Wenn Du jetzt sagst, was [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] sind, Du das also per Koeffizientenvergleich ausrechnest, kannst Du [mm] L(ax^2+bx+c)=... [/mm] hinschreiben.
Ich denke, daß Du das ja wolltest.
>
> dann bekomme ich aber [mm]K_B[/mm] heraus.
Das [mm] K_B [/mm] ist im Thread nicht definiert.
Ist es die Abbildung, welche aus einem Polynom des [mm] \IR_{\le 2}[x] [/mm] eine Koordinatenvektor bzgl. der Basis B macht?
Wenn ja, dann ist die oben durchzuführende Rechnung tatsächlich die, mit welcher Du [mm] K_B(ax^2+bx+c) [/mm] bestimmen kannst.
Gruß v. Angela
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> > Hallo,
> >
> > meinst du [mm]\alpha_1(x^2+x)+\alpha_2(x+1)+ \alpha_3(x^2+1)=ax^2+bx+c[/mm]
>
> Hallo,
>
> so ungefähr meinte ich das.
> Wenn Du jetzt sagst, was [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] sind, Du das also
> per Koeffizientenvergleich ausrechnest, kannst Du
> [mm]L(ax^2+bx+c)=...[/mm] hinschreiben.
> Ich denke, daß Du das ja wolltest.
>
> >
> > dann bekomme ich aber [mm]K_B[/mm] heraus.
>
> Das [mm]K_B[/mm] ist im Thread nicht definiert.
> Ist es die Abbildung, welche aus einem Polynom des
> [mm]\IR_{\le 2}[x][/mm] eine Koordinatenvektor bzgl. der Basis B
> macht?
> Wenn ja, dann ist die oben durchzuführende Rechnung
> tatsächlich die, mit welcher Du [mm]K_B(ax^2+bx+c)[/mm] bestimmen
> kannst.
>
Hallo,
wenn das [mm] K_B [/mm] ist, wie bestimme ich dann L?Um das charakteristische Polynom von L zu bestimmen, brauche ich L.
Gruß
> Gruß v. Angela
>
>
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> >
> > > Hallo,
> > >
> > > meinst du [mm]\alpha_1(x^2+x)+\alpha_2(x+1)+ \alpha_3(x^2+1)=ax^2+bx+c[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > so ungefähr meinte ich das.
> > Wenn Du jetzt sagst, was [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] sind, Du das
> also
> > per Koeffizientenvergleich ausrechnest, kannst Du
> > [mm]L(ax^2+bx+c)=...[/mm] hinschreiben.
> > Ich denke, daß Du das ja wolltest.
> >
> > >
> > > dann bekomme ich aber [mm]K_B[/mm] heraus.
> >
> > Das [mm]K_B[/mm] ist im Thread nicht definiert.
> > Ist es die Abbildung, welche aus einem Polynom des
> > [mm]\IR_{\le 2}[x][/mm] eine Koordinatenvektor bzgl. der Basis B
> > macht?
> > Wenn ja, dann ist die oben durchzuführende Rechnung
> > tatsächlich die, mit welcher Du [mm]K_B(ax^2+bx+c)[/mm] bestimmen
> > kannst.
> >
> Hallo,
>
> wenn das [mm]K_B[/mm] ist, wie bestimme ich dann L?
> Um das
> charakteristische Polynom von L zu bestimmen, brauche ich
> L.
Hallo,
die Darstellungsmatrix bzgl B kannst Du ohne irgendwelche weiteren Rechnungen hinschreiben und daraus das charakteristische Polynom gewinnen.
Dieses "wie bestimme ich L" ist einfach zu unpräzise formuliert.
Wie gesagt: L ist bereits bestimmt dadurch, daß es linear sein soll und seine Werte auf einer Basis angegeben sind.
Du scheinst die Funktionsvorschrift in der gestalt [mm] L(ax^2+bx+c):=... [/mm] hinschreiben zu wollen - ein Ansinnen, welches keinesfalls absurd ist.
Wie das geht, habe ich zuvor erklärt, ich könnte mich jetzt wirklich nur selbst zitieren.
Hast Du dennn die [mm] a_i [/mm] ausgerechnet? (Natürlich hängen sie von a,b,c ab.)
Wie lautet [mm] ax^2+bx+c [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren [mm] x^2+x, [/mm] x+1, [mm] x^2+1?
[/mm]
Was ist also [mm] L(ax^2+bx+c)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Gruß
> > Gruß v. Angela
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