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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte / -räume von Matriz
Eigenwerte / -räume von Matriz < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte / -räume von Matriz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 So 29.01.2006
Autor: iosis

Aufgabe
Gegenben ist die die Abbildung [mm] \alpha: \IR^5 \to \IR^5: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax, die durch folgende Matrix beschrieben wird:
A:= [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{4}} \in \IR^5 [/mm]

a) Bestimme das charakteristische Polynom.
b) Bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A.
c) Konstruiere eine Basis: Wähle einen Eigenvektor [mm] f_1 \in V(\lambda_1) [/mm] zum negativen Eigenwert [mm] \lambda_1. [/mm] Wähle nun einen Vektor [mm] f_2 [/mm] so, dass (A - [mm] \lambda_1 [/mm] ) [mm] f_2 [/mm] = [mm] f_1. [/mm] Ergänze die so gewonnenen Vektoren zu einer Basis, indem du aus den verbleibenden Eigenräumen drei linear unabhängige Vektoren [mm] f_3,f_4,f_5 [/mm] wählst.

Hallo,

ich habe diese Aufgabe bekommen und bin mir nicht sicher, wie ich den b)-Teil lösen muss. Für a) rechnen ich [mm] A-\lambda*E [/mm] und berechne daraus das charakteritische Polynom: [mm] (-2-\lambda)^2(1-\lambda)(\lambda-1)\lamda [/mm]
Daraus folgen die Eigenwerte: [mm] \lambda_1 [/mm] = -2 , [mm] \lambda_2 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
Dann muss ich doch für die Eigenräume einzeln berechnen [mm] A-\lambda_1 [/mm] E = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & 2\bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & 2\bruch{1}{4}} [/mm]
Ist das so korrekt für [mm] \lambda_1 [/mm] = -2 ?
Nur bin ich mir jetzt nicht sicher, wie ich es weiter lösen muss:
habe noch eine Umformung gemacht, damit die Matrix wie folgt aussieht:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{9}{4}} [/mm]
Nur wie gehts jetzt weiter?
Update: habe nun weiter nach Gauß gerechnet und komme nun so weit:

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_3*2+Z_2^*)(Z_2^*+Z_4) [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_5*2+Z_3*3) [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2*2) [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2-Z_3)(Z_4* \bruch{2}{3}) [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8} (Z_5-Z_4) [/mm]

Ich wäre für jede Hilfe dankebar!

Iosis

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Eigenwerte / -räume von Matriz: Soweit ok
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:17 So 29.01.2006
Autor: MathePower

Hallo iosis,

[willkommenmr]

> Gegenben ist die die Abbildung [mm]\alpha: \IR^5 \to \IR^5:[/mm] x
> [mm]\mapsto[/mm] Ax, die durch folgende Matrix beschrieben wird:
>  A:= [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{4}} \in \IR^5[/mm]
>  
> a) Bestimme das charakteristische Polynom.
>  b) Bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume
> von A.
>  c) Konstruiere eine Basis: Wähle einen Eigenvektor [mm]f_1 \in V(\lambda_1)[/mm]
> zum negativen Eigenwert [mm]\lambda_1.[/mm] Wähle nun einen Vektor
> [mm]f_2[/mm] so, dass (A - [mm]\lambda_1[/mm] ) [mm]f_2[/mm] = [mm]f_1.[/mm] Ergänze die so
> gewonnenen Vektoren zu einer Basis, indem du aus den
> verbleibenden Eigenräumen drei linear unabhängige Vektoren
> [mm]f_3,f_4,f_5[/mm] wählst.
>  Hallo,
>  
> ich habe diese Aufgabe bekommen und bin mir nicht sicher,
> wie ich den b)-Teil lösen muss. Für a) rechnen ich
> [mm]A-\lambda*E[/mm] und berechne daraus das charakteritische
> Polynom: [mm](-2-\lambda)^2(1-\lambda)(\lambda-1)\lamda[/mm]
>  Daraus folgen die Eigenwerte: [mm]\lambda_1[/mm] = -2 , [mm]\lambda_2[/mm] =
> 1 und [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>  Dann muss ich doch für die Eigenräume einzeln berechnen
> [mm]A-\lambda_1[/mm] E = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & 2\bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & 2\bruch{1}{4}}[/mm]
>  
> Ist das so korrekt für [mm]\lambda_1[/mm] = -2 ?
>  Nur bin ich mir jetzt nicht sicher, wie ich es weiter
> lösen muss:
>  habe noch eine Umformung gemacht, damit die Matrix wie
> folgt aussieht:
>  [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{9}{4}}[/mm]
>  
> Nur wie gehts jetzt weiter?
>  Update: habe nun weiter nach Gauß gerechnet und komme nun
> so weit:
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}}[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_3*2+Z_2^*)(Z_2^*+Z_4)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_5*2+Z_3*3)[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2*2)[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2-Z_3)(Z_4* \bruch{2}{3})[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8} (Z_5-Z_4)[/mm]

Soweit ist das ok.

Nun kannst Du die Lösung angeben.

So machst Du das jetzt auch mit den anderen Eigenwerten.

>  
> Ich wäre für jede Hilfe dankebar!
>  
> Iosis

Gruß
MathePower

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