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| Aufgabe | Beweise, dass für eine reelle $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix $A$ gilt, dass die Determinante von $A$ das Produkt aller Eigenwerte ist, d.h.
$ det(A) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_i$
[/mm]
Zeige außerdem anhand eines Gegenbeispiels, dass diese Behauptung nicht allgemein gilt, wenn $A$ nicht symmetrisch ist. |
Hallo,
mit dem Gegenbeispiel hab ich so meine Mühe, weil ich eventuell die Aufgabe auch nicht richtig deute. Aber erst mal zum Beweis.
Wenn $A$ symmetrisch ist, gilt auch, dass $A$ selbstadjungiert ist, weil $A [mm] \in M_{n \times n}(\IR)$. [/mm] Hieraus folgt, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren gibt und somit auch eine Diagonalmatrix für $A$ mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist bekanntlich das Produkt der Einträge auf der Diagonalen und hieraus folgt die Behauptung.
Formal würde ich es so aufschreiben:
$det(A) = [mm] det(PDP^{-1})=det(D) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} D_{ii} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_i$
[/mm]
Zum Gegenbeispiel: Ich habe bisher keine reelle Matrix gefunden, die nicht symmetrisch ist und auf die die Behauptung nicht zutrifft. Muss ich vielleicht nach einer komplexen Matrix suchen? Das Wort "allgemein" in der Aufgabenstellung lässt mich das ein wenig vermuten. Vielleicht kann mir hier jemand bei weiterhelfen.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Merkwürdige Aufgabe......
Jede reelle $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix A kann man als komplexe $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix auffassen. Tut man dies, so gilt
$ det(A) = [mm] \produkt_{j=1}^{n} \lambda_i [/mm] $ ,
wobei die [mm] \lambda_j [/mm] die (evtl. komplexen) Eigenwerte von A sind ( in der Lste [mm] \lambda_1, \lambda_2, [/mm] ..., [mm] \lambda_n [/mm] sei jeder Eigenwert so oft aufgeführt, wie es seiner algebraischen Vielfachheit entspricht).
Beweis: sei [mm] p(\lambda)=det(\lambda [/mm] E-A) das char. Polynom von A.
Dann ist
[mm] $p(0)=det(-A)=(-1)^n*det(A)$.
[/mm]
Weiter ist
[mm] $p(\lambda)=(\lambda [/mm] - [mm] \lambda_1)*(\lambda [/mm] - [mm] \lambda_2)*....*((\lambda [/mm] - [mm] \lambda_n)$
[/mm]
und somit
$p(0)= [mm] \produkt_{j=1}^{n}(- \lambda_i )=(-1)^n* \produkt_{j=1}^{n} \lambda_i [/mm] $
Beweisende.
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> Merkwürdige Aufgabe......
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> Jede reelle [mm]n \times n[/mm] - Matrix A kann man als komplexe [mm]n \times n[/mm]
> - Matrix auffassen. Tut man dies, so gilt
>
>
> [mm]det(A) = \produkt_{j=1}^{n} \lambda_i[/mm] ,
>
Den Beweis verstehe ich, nur wie soll ich ein Gegenbeispiel finden, auf das der Satz nicht zutrifft?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mi 18.03.2015 | | Autor: | MacMath |
> > Merkwürdige Aufgabe......
> >
> >
> > Jede reelle [mm]n \times n[/mm] - Matrix A kann man als komplexe [mm]n \times n[/mm]
> > - Matrix auffassen. Tut man dies, so gilt
> >
> >
> > [mm]det(A) = \produkt_{j=1}^{n} \lambda_i[/mm] ,
> >
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> Den Beweis verstehe ich, nur wie soll ich ein Gegenbeispiel
> finden, auf das der Satz nicht zutrifft?
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> Liebe Grüße.
Offensichtlich gibt es nun in [mm] $\IC$ [/mm] kein Gegenbeispiel.
Nimm also eine Matrix, die keine reellen Eigenwerte hat.
LG
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> >
> > Liebe Grüße.
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> Offensichtlich gibt es nun in [mm]\IC[/mm] kein Gegenbeispiel.
> Nimm also eine Matrix, die keine reellen Eigenwerte hat.
>
Die Matrix $A = [mm] \pmat{0&-1\\4&0}$ [/mm] hat die Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] = 2i$ und [mm] $\lambda_2 [/mm] = -2i$ und die Determinante 4. Das geht also auch nicht auf. Ich hab das noch für ein paar andere Matrizen probiert, aber es gilt immer, dass die Determinante gleich ist an das Produkt der Eigenwerte. Was mache ich falsch?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > Liebe Grüße.
> >
> > Offensichtlich gibt es nun in [mm]\IC[/mm] kein Gegenbeispiel.
> > Nimm also eine Matrix, die keine reellen Eigenwerte
> hat.
> >
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> Die Matrix [mm]A = \pmat{0&-1\\4&0}[/mm] hat die Eigenwerte
> [mm]\lambda_1 = 2i[/mm] und [mm]\lambda_2 = -2i[/mm] und die Determinante 4.
> Das geht also auch nicht auf. Ich hab das noch für ein
> paar andere Matrizen probiert, aber es gilt immer, dass die
> Determinante gleich ist an das Produkt der Eigenwerte.
Das habe ich doch oben gezeigt, wenn man Matrizen über [mm] \IC [/mm] betrachtet. [mm] \IR [/mm] ist Teilmenge von [mm] \IC.
[/mm]
> Was
> mache ich falsch?
Nichts ! Möglicherweise meint der Aufgabensteller folgendes: tue so, als gäbe es [mm] \IC [/mm] nicht. Finde eine reelle nxn -Matrix A für die der Satz
det(A) = Produkt der Eigenwerte von A
nicht richtig ist.
Dann nehmen wir doch mal [mm]A = \pmat{0&-1\\4&0}[/mm]. Da [mm] \IC [/mm] nicht existiert , hat A keine Eigenwerte. Somit gibt es auch kein Produkt der Eigenwerte.
Vielleicht meint der Aufgabensteller auch was anderes. Was er meint ist mir nicht klar.
FRED
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> Liebe Grüße.
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