Eigenwerte/Diagonalmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Matrix A ∈ C^(3,3) , von der folgendes bekannt sei:
A $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm] $
A) Bestimme alle Eigenwerte und dazg. Eigenräume
B)Begründen Sie, dass A diagonalisierbar ist und geben Sie eine invertierbare Matrix S ∈ C^(3,3) sowie eine Diagonalmatrix D ∈ C^(3,3) an, so dass gilt A = SDS^(−1)
C)Berechne [mm] e^A [/mm] (noch nicht erfolgt) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen und besonders sanfte Grüße an Angela und Fred, falls sie das lesen. Haben mir schon sehr durchs Semester geholfen :)
Nichts desto trotz wirds grad etwas eng mit der Zulassung, das ist aber die letzte Hausaufgabe und da wollte ich lieber nochmal nachfragen. Mein Tutor nimmt gerade die Formulierungen sehr ernst und ich freu mich deshalb über jede Hilfe!
Habe mir schon DIES und DAS angeschaut aber einige Fragen bleiben:
Bei "DAS" meinte Angela:
Ich würde eher die Inverse von $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 } [/mm] $ bestimmen und dann
$ [mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & -6 & 6 }\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 }^{-1} [/mm] $ berechnen.
Bestimmt doofe Frage aber warum kann man das machen? Wenn ich das einfach so schreibe gibt es bestimmt Punktabzug.
Komme dann für mein A auf: $ [mm] \pmat{ -2 & 0 & 10 \\ 0 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $ was auch bei A = SDS^-1 rauskommt.
*Davon dann die Det. ergibt:
Eigentwert(1,2)=-2, Eigentwert(3)=3 (chark. Poly (-2-X)*((-2-x)*(3-x)) )
*Davon dann die Eigenräume berechnen:
EW(-2): Kern(A-(-2)*I)= Kern ( $ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & -15 \\ 0 & 0 & 5 } [/mm] ) = Kern ( $ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] ) = Eigenvektoren span { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] } ,
zum Eigenwert -2.
Sieht man das oder soll ich hier noch ein LGS lösen?
EW(3): Kern(A-(3)*I)= Kern ( $ [mm] \pmat{ -5 & 0 & 10 \\ 0 & -5 & -15 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ) = Eigenvektor span { [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 1} [/mm] } zum Eigenwert 3?
Jetzt voll die Basics aber warum im Vektor die 1? Ist doch 0=0 in der letzen Zeile?
S wären ja dann die 3 Vektoren.
Eine Frage hätte ich aber noch:
Wenn man die Aufgabe nun mit scharfem Hinsehen lösen will sieht man ja auch die EW -2 -2 3 und die Eigenräume wären doch die Vektoren: $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $ .
Daraus nun S berechnen komme ich jedoch zunächst auf die darstellende Matrix: $ [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $ (=D ?)
und somit S= $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $
Warum ist das so? Ist beides falsch :D ?
Sanfte Grüße und Friede sei mit euch allen!
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> Gegeben sei eine Matrix A ∈ C^(3,3) , von der folgendes
> bekannt sei:
>
> A [mm]\pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 }[/mm]
>
> A) Bestimme alle Eigenwerte und dazg. Eigenräume
> B)Begründen Sie, dass A diagonalisierbar ist und geben
> Sie eine invertierbare Matrix S ∈ C^(3,3) sowie eine
> Diagonalmatrix D ∈ C^(3,3) an, so dass gilt A =
> SDS^(−1)
> C)Berechne [mm]e^A[/mm] (noch nicht erfolgt)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo alle zusammen und besonders sanfte Grüße an Angela
> und Fred, falls sie das lesen.
Hallo,
ich danke für die sanften Grüße.
Das ist sehr lieblich von Dir.
>
> Habe mir schon DIES und
> DAS
> angeschaut aber einige Fragen bleiben:
>
>
> Bei "DAS" meinte Angela:
Du solltest lieber "DIES" machen. DIES ist intelligent, und DAS ist dumpfbackig.
> Ich würde eher die Inverse von [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 }[/mm]
> bestimmen und dann
> [mm]A=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & -6 & 6 }\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 }^{-1}[/mm]
> berechnen.
>
> Bestimmt doofe Frage aber warum kann man das machen? Wenn
> ich das einfach so schreibe gibt es bestimmt Punktabzug.
Das denke ich nicht.
Wir haben AB=C, B ist invertierbar, also bekommen wir [mm] ABB^{-1}=CB^{-1} [/mm] <==> [mm] AE=CB^{-1} [/mm] <==> [mm] A=CB^{-1}.
[/mm]
>
>
>
> Komme dann für mein A auf: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 10 \\ 0 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet.
> was auch bei A = SDS^-1 rauskommt.
>
>
> *Davon dann die Det. ergibt:
> Eigentwert(1,2)=-2, Eigentwert(3)=3 (chark. Poly
> (-2-X)*((-2-x)*(3-x)) )
Du willst sicher sagen:
Das charateristische Polynom von A ist
det(A-xE)=
> (-2-X)*((-2-x)*(3-x)) ).
Die Nullstellen des charateristischen Polynoms, also die Eigenwerte sind
==>
> Eigentwert(1,2)=-2, Eigentwert(3)=3
>
>
>
> *Davon dann die Eigenräume berechnen:
> EW(-2): Kern(A-(-2)*I)= Kern ( [mm]\pmat{ 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & -15 \\ 0 & 0 & 5 } ) = Kern ([/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)
==>
> Eigenvektorenraum
ist
> span { [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } ,
> zum Eigenwert -2.
>
> Sieht man das oder soll ich hier noch ein LGS lösen?
Das sieht man so.
>
>
>
> EW(3): Kern(A-(3)*I)= Kern ( $ [mm]\pmat{ -5 & 0 & 10 \\ 0 & -5 & -15 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ) = Eigenvektor span { [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} zum
> Eigenwert 3?
> Jetzt voll die Basics aber warum im Vektor die 1? Ist doch
> 0=0 in der letzen Zeile?
Du hast Rang 2, kannst also eine Variable frei wählen.
Mit
z=t
bekommst Du aus der 2. Zeile -5y-15z=0 <==>
y=-3t
und aus Zeile 1 -5x+10z=0 <==>
x=2t.
Also haben alle Vektoren des Kerns die Gestalt \vektor{x\\y\\z}=\vektor{2t\\-3t\\t}=t*\vektor{2\\-3\\1},
und
\vektor{2\\-3\\1} ist eine Basis des Kerns.
>
> S wären ja dann die 3 Vektoren.
In den Spalten von S sind diese Vektoren.
>
>
> Eine Frage hätte ich aber noch:
> Wenn man die Aufgabe nun mit scharfem Hinsehen lösen will
was viel besser ist!
> sieht man ja auch die EW -2 -2
ja
> und die Eigenräume wären
> doch die Vektoren: [mm]\pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
Nee, echt nicht...
Es wäre so:
die der Eigenraum zum Eigenwert -2 wird aufgespannt vom ersten und zweiten Spaltenvektor, der in Deiner Matrix steht, und der Eigenraum zum Eigenwert 3 vom Vektor, der in der dritten Spalte steht.
> .
> Daraus nun S berechnen
Was meinst Du damit?
Du hast doch S dastehen. (?)
> komme ich jedoch zunächst auf die
> darstellende Matrix: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> (=D ?)
Dies ist die Matrix D, die Darstellungsmatrix der durch A gegebenen Abbildung bzgl einer Eigenbasis.
Es ist [mm] D=S^{-1}AS [/mm] und entsprechend [mm] SDS^{-1}=A.
[/mm]
LG Angela
>
> und somit S= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Warum ist das so? Ist beides falsch :D ?
>
>
>
> Sanfte Grüße und Friede sei mit euch allen!
>
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Ok, erstmal vielen Dank für die Antworten! Die Fragen waren zum Verständnis fred. Weiß einfach nicht, was hier die Vorgehensweise ist. Bei $ [mm] A=CB^{-1}. [/mm] $ verstehe ich die Schritte aber bei der besseren Variante haperts.
Also A) jetzt durch schärfstes Hinsehen plus Lupe:
Ergibt ja zunächst nur die Eigenwerte
A*v1=w1 --> A1 = -2
A*v2=w2 --> A2 = -2
EW1,2 = -2
A*v3=w3 --> A3 = 3
EW3 = 3
(bestimmt mathematisch wieder unter der Gürtellinie)
der Eigenraum zum Eigenwert -2 wird aufgespannt vom ersten und zweiten Spaltenvektor, der Eigenraum zum Eigenwert 3 vom Vektor in der dritten Spalte.
B)
Da obere Dreiecksmatrix, stehen EW auf der Hauptdiagonalen und die Darstellungsmatrix der durch A gegebenen Abbildung bzgl einer Eigenbasis lautet:
D = $ [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $
Aus A) ergibt sich S = $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $
$ [mm] SDS^{-1}=A. [/mm] $
A= $ [mm] \pmat{ -2 & 0 & 10 \\ 0 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $
Dann wie bereits getan (A-(EW1,2)*I) und zeigen dass GeoVFH=ALGVFH?
Diagbarkeit gezeigt, S bestimmt, D bestimmt, fertig?
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> Also A) jetzt durch schärfstes Hinsehen plus Lupe:
>
> Ergibt ja zunächst nur die Eigenwerte
Hallo,
> A*v1=w1 --> A1 = -2
> A*v2=w2 --> A2 = -2
> EW1,2 = -2
>
> A*v3=w3 --> A3 = 3
> EW3 = 3
> (bestimmt mathematisch wieder unter der Gürtellinie)
Unter der Gürtellinie nicht, aber nicht aussagekräftig und überzeugend.
Man sieht nämlich dies:
wenn [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] die Spalten der Matrix $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $ sind, stellt man zunächst fest, daß sie eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
Weiter ist
[mm] A*v_1=-2v_1 ==>\lambda_1= [/mm] -2
[mm] A*v_2=-2v_2 [/mm] ==> [mm] \lambda_2 [/mm] = -2
> EW1,2 = -2
>
[mm] A*v_3=3*v_3 [/mm] ==> [mm] \lambda_3= [/mm] 3
>
> der Eigenraum zum Eigenwert -2 wird aufgespannt vom ersten
> und zweiten Spaltenvektor, der Eigenraum zum Eigenwert 3
> vom Vektor in der dritten Spalte.
Ja.
>
>
> B)
> Da obere Dreiecksmatrix,
Von welcher Matrix redest Du gerade?
In dem Lösungsweg, den Du gerade verfolgst, wollen wir doch alles herausfinden, ohne daß wir A berechnen. Wir kennen A nicht.
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Eine solche hast Du bereits gefunden: [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] und die [mm] v_1 [/mm] sind Eigenvektoren.
> und die Darstellungsmatrix der durch A gegebenen Abbildung
> bzgl einer Eigenbasis lautet:
> D = [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> Aus
> A) ergibt sich S = [mm]\pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> [mm]SDS^{-1}=A.[/mm]
> A= [mm]\pmat{ -2 & 0 & 10 \\ 0 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
Daß man A ausrechnet, ist hier gar nicht gefordert.
Du bist fertig.
> Dann
> wie bereits getan (A-(EW1,2)*I) und zeigen dass
> GeoVFH=ALGVFH?
Das wäre dann die in DAS von mir vorgeschlagene Dumpfbackenvariante.
LG Angela
> Diagbarkeit gezeigt, S bestimmt, D bestimmt, fertig?
>
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Hallo und darf ich fragen, was Ihre extreme sind?
Konnte das WE leider nicht an den PC aber nun gefällt mir die nicht-Dumpfbacken-Variante auch besser. Vielen vielen Dank!
Das einzige wo ich mir noch nicht ganz sicher bin ist ob [mm] \IC^3 [/mm] oder [mm] \IR^3 [/mm] bei den Theoremen.
B) und C) schreib ich nochmal auf, weitere Hilfe brauch ich aber (hoffentlich) nicht mehr ;)
B)
Wenn v1,v2,v3 Eigenvektoren der Matrix $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $ sind -> Basis des [mm] \IR^3 [/mm] von A
Sei A [mm] \in K^n,n [/mm] eine quadr. Matrix
Es gibt eine Basis des [mm] K^n [/mm] von A die aus den EV der lin. Abb. besteht <=> Matrix Diagonalsierbar.
D ist die darst. Matrix von A bezgl. einer Basis von Eigenvektoren von A
D= $ [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $
S ist eine Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
S= $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $
und es gilt A = SDS^-1
C)
[mm] e^A [/mm] = $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $ *$ [mm] \pmat{ e^-2 & 0 & 0 \\ 0 & e^-2 & 0 \\ 0 & 0 & e^3 } [/mm] $ * $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $
Edit2: = $ [mm] \pmat{e^-2 & 0 & -2e^-2-2e^3 \\ 0 & e^-2 & 3e-^2+3e^3 \\ 0 & 0 & e^3 } [/mm] $
schau mir c nochmal an...
Grüße, schönen Sonntag und Danke nochmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine Matrix A ∈ C^(3,3) , von der folgendes
> bekannt sei:
>
> A [mm]\pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 }[/mm]
>
> A) Bestimme alle Eigenwerte und dazg. Eigenräume
> B)Begründen Sie, dass A diagonalisierbar ist und geben
> Sie eine invertierbare Matrix S ∈ C^(3,3) sowie eine
> Diagonalmatrix D ∈ C^(3,3) an, so dass gilt A =
> SDS^(−1)
> C)Berechne [mm]e^A[/mm] (noch nicht erfolgt)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo alle zusammen und besonders sanfte Grüße an Angela
> und Fred, falls sie das lesen.
Ja, ich habs auch gelesen, .... ganz allerliebst !
> Haben mir schon sehr durchs
> Semester geholfen :)
Ist das nicht schön ?
> Nichts desto trotz wirds grad etwas eng mit der Zulassung,
> das ist aber die letzte Hausaufgabe und da wollte ich
> lieber nochmal nachfragen.
Tja, Angela hat ja zu Deinen Fragen weiter unten schon einiges gesagt.
Ich frage mich allerdings: was haben diese Fragen mit der obigen Aufgabe zu tun ?
GRuß FRED
> Mein Tutor nimmt gerade die
> Formulierungen sehr ernst und ich freu mich deshalb über
> jede Hilfe!
>
> Habe mir schon DIES und
> DAS
> angeschaut aber einige Fragen bleiben:
>
>
> Bei "DAS" meinte Angela:
> Ich würde eher die Inverse von [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 }[/mm]
> bestimmen und dann
> [mm]A=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & -6 & 6 }\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 }^{-1}[/mm]
> berechnen.
>
> Bestimmt doofe Frage aber warum kann man das machen? Wenn
> ich das einfach so schreibe gibt es bestimmt Punktabzug.
>
>
>
> Komme dann für mein A auf: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 10 \\ 0 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> was auch bei A = SDS^-1 rauskommt.
>
>
> *Davon dann die Det. ergibt:
> Eigentwert(1,2)=-2, Eigentwert(3)=3 (chark. Poly
> (-2-X)*((-2-x)*(3-x)) )
>
>
>
> *Davon dann die Eigenräume berechnen:
> EW(-2): Kern(A-(-2)*I)= Kern ( [mm]\pmat{ 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & -15 \\ 0 & 0 & 5 } ) = Kern ([/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) =
> Eigenvektoren span { [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } ,
> zum Eigenwert -2.
>
> Sieht man das oder soll ich hier noch ein LGS lösen?
>
>
>
> EW(3): Kern(A-(3)*I)= Kern ( $ [mm]\pmat{ -5 & 0 & 10 \\ 0 & -5 & -15 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ) = Eigenvektor span { [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} zum
> Eigenwert 3?
> Jetzt voll die Basics aber warum im Vektor die 1? Ist doch
> 0=0 in der letzen Zeile?
>
> S wären ja dann die 3 Vektoren.
>
>
> Eine Frage hätte ich aber noch:
> Wenn man die Aufgabe nun mit scharfem Hinsehen lösen will
> sieht man ja auch die EW -2 -2 3 und die Eigenräume wären
> doch die Vektoren: [mm]\pmat{ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
> .
> Daraus nun S berechnen komme ich jedoch zunächst auf die
> darstellende Matrix: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> (=D ?)
>
> und somit S= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Warum ist das so? Ist beides falsch :D ?
>
>
>
> Sanfte Grüße und Friede sei mit euch allen!
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