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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Do 13.03.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Betrachte die Matrix:
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
(i) Bestimme Eigenwerte und Eigenräume.
(ii) Geben die orthogonale Matrix B mit der Eigenschaft an, dass [mm] B^{-1}AB [/mm] Diagonalgestalt hat.
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Ich würd gerne wissen ob meine Lösung richtig ist:
zu (i)
mit Hilfe des charakeristischen Polynoms komme ich auf [mm] (1-\lambda)^{2}, [/mm] d.h. der einzige Eigenwert ist 1 mit algVF=2.
Den Eigenraum berechne ich nach: (A-Id)x = 0
und dann sehe ich, dass der Eigenwert 3 Vektoren aufspannt:
at{ 0 & 0 & 1 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 1 & 0 &0 } at{ x [mm] \\ [/mm] y [mm] \\ [/mm] z } = 0
<=> x:=s, z:=t, y:=u ergibt:
at{ s [mm] \\ [/mm] t [mm] \\ [/mm] u } = s at{ 1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0 } + t at{ 0 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 1 } + u at{ 0 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 0 }
(ii) Hier wird komischerweise in der Aufgabenstellung noch erwähnt, dass man daran denken soll die Spaltenvektoren zu normieren...allerdings haben die bei mir doch (wenn die Lösung richtig ist) schon die Länge 1? Versteh ich irgendwie nicht,deshalb frag ich auch:
Naja die Basis sähe dann so aus: at{ 1 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 1 }
Danke für eure Hilfe!
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Hallo Nanne,
> Betrachte die Matrix:
> A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
>
> (i) Bestimme Eigenwerte und Eigenräume.
> (ii) Geben die orthogonale Matrix B mit der Eigenschaft
> an, dass [mm] B^{-1}AB [/mm] Diagonalgestalt hat.
>
> Ich würd gerne wissen ob meine Lösung richtig ist:
>
> zu (i)
> mit Hilfe des charakeristischen Polynoms komme ich auf
> [mm] (1-\lambda)^{2}, [/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") d.h. der einzige Eigenwert ist
> 1 mit algVF=2. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich erhalte da ein anderes char. Polynom, das 3 verschiedene Nullstellen hat, vllt. rechnest du noch mal nach oder auch vor, was du gerechnet hast.
>
> Den Eigenraum berechne ich nach: (A-Id)x = 0
> und dann sehe ich, dass der Eigenwert 3 Vektoren
> aufspannt:
> [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 &0 } \pmat{ x \\ y \\ z } [/mm]
> = 0
> <=> x:=s, z:=t, y:=u ergibt:
> [mm] \pmat{ s \\ t \\ u } [/mm] = s [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + u [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
>
> (ii) Hier wird komischerweise in der Aufgabenstellung noch
> erwähnt, dass man daran denken soll die Spaltenvektoren zu
> normieren...allerdings haben die bei mir doch (wenn die
> Lösung richtig ist) schon die Länge 1? Versteh ich
> irgendwie nicht,deshalb frag ich auch:
Man erhält mit den 3 (verschiedenen) Eigenwerten 3 linear unabh. Eigenvektoren, die bereits paarweise orthogonal sind.
Es gibt also eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] aus Eigenvektoren.
Wenn du die als Spalten in eine Matrix packst, so bekommst du schon mal die transformierende Matrix $T$, die dir $A$ diagonalisiert.
Dh. du musst sie nur noch normieren, dann hast du deine gesuchte ONB und damit die orthogonale Matrix $B$
>
> Naja die Basis sähe dann so aus: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &
> 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
>
> Danke für eure Hilfe!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 13.03.2008 | | Autor: | diecky |
Ach mist, ich glaub ich hab mich vertan...
Sind die EW evtl. 1, 0 und 2?
Dann weiß ich auch wie der Rest geht 
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
