Eigenwerte, Eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix:
$A= [mm] \begin{pmatrix}
1 &2 &4 &1 &2 \\
0 & 4 & 3 & 5 &5 \\
0& 0 &-2 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 0\\
0 &0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}$
[/mm]
Entscheiden Sie, ob A diagonalisierbar ist. Falls ja, bestimmen Sie die Transformationsmatrizen $V$ und [mm] ${V}^{-1}$. [/mm] so dass [mm] ${V}^{-1}AV$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist. Falls nein, berechnen Sie [mm] ${A}^{-1}$. [/mm] |
Da es sich um einen Diagonalmatrix handelt stehen die Eigenwerte ja schon in voller Pracht auf der Hauptdiagonalen:
[mm] ${\lambda }_{1,2} [/mm] = 1$
[mm] ${\lambda }_{3} [/mm] = 4$
[mm] ${\lambda }_{4} [/mm] = -2$
[mm] ${\lambda }_{5} [/mm] = 3$
Wie komme ich jetzt an die Eigenräume zu den entsprechenden Eigenwerten?
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Weißt du denn, was Eigenräume sind? Die Matrix ist zwar etwas größer, aber rechnerisch machst du nichts anderes als bei 2x2 oder 3x3-Matrizen. Du musst zunächst die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bestimmen. Je nach Freiheitsgrad des Eigenvektors ist dann auch direkt der Eigenraum bestimmbar. Machst du das für alle Eigenvektoren, hast du dann für jeden einen Eigenraum.
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D.h. für Eigenwert 1 muss ich folgende Matrix lösen:
$ [mm] \begin{pmatrix} 0 &2 &4 &1 &2 \\ 0 & 3 & 3 & 5 &5 \\ 0& 0 &-3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 &0 &0 &0 & 0 \end{pmatrix}$ [/mm]
Wird bei mir zu:
$ [mm] \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 0 &1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$ [/mm]
Ist das dann der Eigenraum?
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Hallo MartinNeumann,
> D.h. für Eigenwert 1 muss ich folgende Matrix lösen:
> [mm]\begin{pmatrix} 0 &2 &4 &1 &2 \\ 0 & 3 & 3 & 5 &5 \\ 0& 0 &-3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 &0 &0 &0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wird bei mir zu:
> [mm]\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 0 &1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}[/mm]
>
Poste doch die Rechenschritte, wie Du zu dieser Matrix kommst.
> Ist das dann der Eigenraum?
Nein. Aus diesem Gebilde sind diejenigen Vektoren zu ermitteln,
die durch dieses Gebilde auf dem Nullvektor abgebildet werden.
Gruss
MathePower
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o.O ich habe ausverstehn eine Matrix aus einer komplett anderen Aufgabe genommen. Es soll mit folgender Matrix gerechnet werden:
$A =
[mm] \begin{pmatrix}
5 & 2& -4\\
0& 3 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}$
[/mm]
Eigenwerte:
[mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = 3$
[mm] $\lambda_{3} [/mm] = 5$
Eigenvektor zu EW 3:
[mm] $EM_{3} [/mm] =
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 2& -4\\
0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $2x_{1}+2x_{2}-4x_{3} [/mm] = 0$
[mm] $2x_{1}=-2x_{2}+4x_{3}$
[/mm]
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2}+2x_{3}$
[/mm]
wähle [mm] $x_{2},x_{3} [/mm] = [mm] \alpha$:
[/mm]
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] -\alpha+2\alpha [/mm] = [mm] \alpha$
[/mm]
Eigenvektor:
[mm] $EV_{3} =\{\alpha \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}| \alpha \in \IR beliebig \}$
[/mm]
Eigenraum zum EW 3:
[mm] ER_{3} [/mm] = [mm] span(\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix})
[/mm]
Habe ich das soweit richtig gemacht? Also ich versteh den Eigenraum nun insofern, als dass es der Raum ist, der vom Eigenvektor zu einem gewissen Eigenwert aufgespannt wird. Richtig?
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Hallo MartinNeumann,
> o.O ich habe ausverstehn eine Matrix aus einer komplett
> anderen Aufgabe genommen. Es soll mit folgender Matrix
> gerechnet werden:
> $A =
> [mm]\begin{pmatrix}
5 & 2& -4\\
0& 3 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> Eigenwerte:
> [mm]\lambda_{1,2} = 3[/mm]
> [mm]\lambda_{3} = 5[/mm]
>
> Eigenvektor zu EW 3:
> [mm]$EM_{3}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 2& -4\\
0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> [mm]2x_{1}+2x_{2}-4x_{3} = 0[/mm]
> [mm]2x_{1}=-2x_{2}+4x_{3}[/mm]
> [mm]x_{1} = -x_{2}+2x_{3}[/mm]
>
> wähle [mm]x_{2},x_{3} = \alpha[/mm]:
> [mm]x_{1} = -\alpha+2\alpha = \alpha[/mm]
>
> Eigenvektor:
> [mm]$EV_{3} =\{\alpha \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}| \alpha \in \IR beliebig \}$[/mm]
>
> Eigenraum zum EW 3:
>
> [mm]ER_{3}[/mm] = [mm]span(\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix})[/mm]
>
Das ist erst ein Eigenvektor.
Der Lösungsraum von der Matrix zu der Du den einen Eigenvektor
bestimmt hast, hat die Dimension 2.
> Habe ich das soweit richtig gemacht? Also ich versteh den
> Eigenraum nun insofern, als dass es der Raum ist, der vom
> Eigenvektor zu einem gewissen Eigenwert aufgespannt wird.
> Richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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Ups, stimmt. D.h. zum Eigenwert 5 habe ich:
[mm] $\begin{pmatrix}
0 & 2& -4\\
0& -2 & 0\\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}$
[/mm]
1Z + 2Z und 1Z - 2*3Z:
[mm] $\begin{pmatrix}
0 & 0& 0\\
0& -2 & 0\\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}
[/mm]
Also:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0& 0\\
0& 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] $EV_{5} =\{\alpha \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}| \alpha \in \IR beliebig \}$
[/mm]
Der Eigenraum dazu ist:
[mm] $span(\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix})$
[/mm]
Zur Frage ob damit die Ausgangsmatrix A diagonalisierbar ist. Nein ist sie nicht, da es nur 2 Eigenvektoren gibt, es aber genauso viele Eigenvektoren wie die Dimension von A braucht um eine Transformationsmatrix zu bilden. Somit muss die Inverse von A gebildet werden:
[mm] $\left(
\begin{matrix}
5 & 2 & -4\\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)
\right$
[/mm]
2Z und 3Z durch 3 geteilt und 1Z durch 5:
[mm] $\left(
\begin{matrix}
1 & \frac{2}{5} & \frac{-4}{5}\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{3} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{matrix}
\right)
\right$
[/mm]
2Z * (2/5) minus 1Z und 3Z * (4/5) plus 1Z:
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{-2}{15}& \frac{4}{15}\\
0& \frac{1}{3} & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{pmatrix} [/mm] $
Hätte ich 3 Eigenvektoren wäre die Transformationsmatrix:
$T = [mm] \{ EV_{1}, EV_{2}, EV_{3}\}$
[/mm]
Also Spaltenweise die Eigenvektoren.
Könnte sich das nochmal jemand ansehn, bin mir unsicher mit meinen Schlussfolgerungen. Vielen Dank! ;)
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Hallo MartinNeumann,
> Ups, stimmt. D.h. zum Eigenwert 5 habe ich:
> [mm]$\begin{pmatrix}
0 & 2& -4\\
0& -2 & 0\\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}$[/mm]
> 1Z +
> 2Z und 1Z - 2*3Z:
> [mm]$\begin{pmatrix}
0 & 0& 0\\
0& -2 & 0\\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> Also:
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0& 0\\
0& 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> daraus folgt:
> [mm]$EV_{5} =\{\alpha \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}| \alpha \in \IR beliebig \}$[/mm]
>
> Der Eigenraum dazu ist:
> [mm]$span(\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix})$[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zur Frage ob damit die Ausgangsmatrix A diagonalisierbar
> ist. Nein ist sie nicht, da es nur 2 Eigenvektoren gibt, es
> aber genauso viele Eigenvektoren wie die Dimension von A
> braucht um eine Transformationsmatrix zu bilden. Somit muss
> die Inverse von A gebildet werden:
Es gibt auch 3 Eigenvektoren.
Es ist noch ein 2. Eigenvektor zum Eigenwert 3 zu bestimmen.
> [mm]$\left(
\begin{matrix}
5 & 2 & -4\\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)
\right$[/mm]
>
> 2Z und 3Z durch 3 geteilt und 1Z durch 5:
> [mm]$\left(
\begin{matrix}
1 & \frac{2}{5} & \frac{-4}{5}\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{3} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{matrix}
\right)
\right$[/mm]
>
> 2Z * (2/5) minus 1Z und 3Z * (4/5) plus 1Z:
> [mm]$A^{-1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{-2}{15}& \frac{4}{15}\\
0& \frac{1}{3} & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{pmatrix}[/mm]
> $
>
> Hätte ich 3 Eigenvektoren wäre die
> Transformationsmatrix:
>
> [mm]T = \{ EV_{1}, EV_{2}, EV_{3}\}[/mm]
> Also Spaltenweise die
> Eigenvektoren.
>
> Könnte sich das nochmal jemand ansehn, bin mir unsicher
> mit meinen Schlussfolgerungen. Vielen Dank! ;)
Gruss
MathePower
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Ich habe gerade folgende Seite entdeckt, mit der ich meine Ergebnisse nochmal nachprüfen wollte. (![[]](/images/popup.gif) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm)
Dort erhalte ich für doppelten EW 3 die Vektoren:
[ -1 ; 1 ; 0 ]
[ 2 ; 0 ; 1 ]
und für EW 5:
[ 1 ; 0 ; 0 ]
Mein erster Vektor zum EW 3 scheint wohl bereits falsch zu sein.
Man muss doch nur die Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
5-\lambda & 2 & -4\\
0& 3-\lambda &0 \\
0&0 & 3-\lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] \lambda [/mm] = 3 lösen:
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 & -4\\
0& 0&0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Verstehe absolut nicht, warum ein Ergebnis falsch ist und wie ich mit nur einer Gleichung [mm] $2x_{1}+2x_{2}-4x_{3} [/mm] = 0$ auf zwei verschiedene Vektoren kommen soll.
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Hallo MartinNeumann,
> Ich habe gerade folgende Seite entdeckt, mit der ich meine
> Ergebnisse nochmal nachprüfen wollte.
> (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm)
>
> Dort erhalte ich für doppelten EW 3 die Vektoren:
> [ -1 ; 1 ; 0 ]
> [ 2 ; 0 ; 1 ]
>
> und für EW 5:
> [ 1 ; 0 ; 0 ]
>
> Mein erster Vektor zum EW 3 scheint wohl bereits falsch zu
> sein.
>
Nein, denn
[mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1}=\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 } +\pmat{2 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> Man muss doch nur die Matrix:
> [mm]\begin{pmatrix}
5-\lambda & 2 & -4\\
0& 3-\lambda &0 \\
0&0 & 3-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> mit [mm]\lambda[/mm] = 3 lösen:
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 2 & -4\\
0& 0&0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Verstehe absolut nicht, warum ein Ergebnis falsch ist und
> wie ich mit nur einer Gleichung [mm]2x_{1}+2x_{2}-4x_{3} = 0[/mm]
> auf zwei verschiedene Vektoren kommen soll.
>
Dies ist eine Gleichung in 3 Variablen,
somit kannst Du 2 Variablen frei wählen.
Daher gibt es auch zwei verschiedene Vektoren.
Gruss
MathePower
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> Nein, denn
>
> [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1}=\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 } +\pmat{2 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
Ach natürlich, danke!
Für die Aufgabe heißt das nun, dass es eine Transformationsmatrix gibt, weil es 3 Eigenvektoren gibt und somit Anzahl EW = Dim (Bild(A)) = 3 erfüllt.
Beim Aufstellen der T-Matrix kommt es laut Internet auf die Reihenfolge der Eigenvektoren in der Matrix an. Woher weiß ich den in welcher Reihenfolge? Weil z.b. bei meiner Aufgabe, könnte ich bei dem doppelten EW nicht sagen welcher wohin soll. Ich kann zudem ja auch 5 als ersten auffassen und 3 als zweiten und dritten.
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Hallo MartinNeumann,
> > Nein, denn
> >
> > [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1}=\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 } +\pmat{2 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> Ach natürlich, danke!
>
> Für die Aufgabe heißt das nun, dass es eine
> Transformationsmatrix gibt, weil es 3 Eigenvektoren gibt
> und somit Anzahl EW = Dim (Bild(A)) = 3 erfüllt.
>
> Beim Aufstellen der T-Matrix kommt es laut Internet auf die
> Reihenfolge der Eigenvektoren in der Matrix an. Woher weiß
> ich den in welcher Reihenfolge? Weil z.b. bei meiner
> Aufgabe, könnte ich bei dem doppelten EW nicht sagen
> welcher wohin soll. Ich kann zudem ja auch 5 als ersten
> auffassen und 3 als zweiten und dritten.
Die Reihenfolge, wie Du die Eigenvektoren anordnest,
bleibt Dir überlassen. Es sollten aber die Eigenvektoren
zum doppelten Eigenwert 3 nebeneinander stehen.
Gruss
MathePower
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Danke für die Hilfe hier! Endlich das Thema ein Stück mehr verstanden.
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