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Hallo allerseits!
Ich sitze gerade an einer Aufgabe bei der ich für [mm] n\ge [/mm] 2 zeigen soll, dass die Hessematrix von [mm] f(x)=\parallel x\parallel [/mm] für [mm] x\in R^n \backslash\{0\} [/mm] die Eigenwerte 0 und [mm] 1/\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] hat.
Als Erinnerung steht noch dabei, dass die Hessmatrix von [mm] \parallel x\parallel [/mm] durch f''(x)ij = [mm] 1/\parallel [/mm] x [mm] \parallel *(\delta [/mm] ij - [mm] (xi+xj)/(\parallel x\parallel [/mm] ^2)) gegeben ist (Die i und j sind Indices, wusste aber nicht wie ich das richtig formatieren kann, sorry). Als Schema soll ich die Hessematrix zunächst auf einen beliebigen Vektor y anwenden, dann für besonders einfach Fälle das Ergebnis bestimmen und damit dann geeignete Eigenvektoren finden.
Meine erste Frage, stimmt es, dass [mm] \deltaij [/mm] immer 1 ist wenn i=j und sonst 0?Außerdem scheitere ich leider schon damit, die Hessematrix auf den beliebigen Vektor y anzuwenden, ich weiß irgendwie nicht was ich da tun soll. Leider muss ich die Lösung der Aufgabe schon am Dienstag abgeen, deshalb das Fälligkeitsdatum.
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte...
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Steffi,
> Ich sitze gerade an einer Aufgabe bei der ich für [mm]n\ge[/mm] 2
> zeigen soll, dass die Hessematrix von [mm]f(x)=\parallel x\parallel[/mm]
> für [mm]x\in R^n \backslash\{0\}[/mm] die Eigenwerte 0 und
> [mm]1/\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] hat.
> Als Erinnerung steht noch dabei, dass die Hessmatrix von
> [mm]\parallel x\parallel[/mm] durch f''(x)ij = [mm]1/\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel *(\delta[/mm] ij - [mm](xi+xj)/(\parallel x\parallel[/mm] ^2))
> gegeben ist (Die i und j sind Indices, wusste aber nicht
> wie ich das richtig formatieren kann, sorry). Als Schema
So vielleicht:
[mm]\frac{{\partial ^2 f(x)}}
{{\partial x_i \partial x_j }}\; = \;\frac{1}
{{\left\| x \right\|}}\;\left( {\delta _{ij} - \;\frac{{x_i \;x_j }}
{{\left\| x \right\|^2 }}} \right)[/mm]
> soll ich die Hessematrix zunächst auf einen beliebigen
> Vektor y anwenden, dann für besonders einfach Fälle das
> Ergebnis bestimmen und damit dann geeignete Eigenvektoren
> finden.
> Meine erste Frage, stimmt es, dass [mm]\deltaij[/mm] immer 1 ist
> wenn i=j und sonst 0?Außerdem scheitere ich leider schon
Ja, das stimmt.
[mm]\delta _{ij} \; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
0 & {falls\;i\; \ne \;j} \\
1 & {falls\;i\; = \;j} \\
\end{array} } \right[/mm]
> damit, die Hessematrix auf den beliebigen Vektor y
> anzuwenden, ich weiß irgendwie nicht was ich da tun soll.
Ersetze einfach das x durch ein y bzw. die [mm]x_{i}[/mm] durch [mm]y_{i}[/mm].
Ein einfacher Fall ergibt sich für n=2:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{x_{2}^{2} }}
{{\left\| x \right\|^{3} }}} & {\frac{{ - x_{1} \;x_{2} }}
{{\left\| x \right\|^{3} }}} \\
{\frac{{ - x_{1} \;x_{2} }}
{{\left\| x \right\|^{3} }}} & {\frac{{x_{1}^{2} }}
{{\left\| x \right\|^{3} }}} \\
\end{array} } \right)[/mm]
Hier kannst Du die Eigenwerte relativ einfach bestimmen.
Gruß
MathePower
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