Eigenwerte berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 18.04.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und k, [mm] c_{1}, [/mm] ... , [mm] c_{1} \in [/mm] K.
Berechnen sie die Eigenwerte von
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ k^{3} & -3k^{2} & 3k }
[/mm]
B= [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} & ... & c_{n} \\ c_{1} & c_{2} & ... & c_{n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{1} & c_{2} & ... & c_{n} } [/mm] |
Zur Matrix A:
Ich habe mir gedacht, die letzte Zeile nach oben zu verschieben.
somit sähe die Matrix so aus
A= [mm] \pmat{ k^{3} & -3k^{2} & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Nun: det ( [mm] \lambda [/mm] *E - A )
=>
[mm] \pmat{ \lambda - k^{3} & 3k^{2} & -3k \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda - 1 }
[/mm]
Nun Sarrus anzuwenden um auf das char polynom zu kommen.
Damit erhalte ich
( [mm] \lambda [/mm] - [mm] k^{3} [/mm] ) ( [mm] \lambda [/mm] - 1 ) ( [mm] \lambda [/mm] -1 ) =^{!} 0
<=> [mm] \lambda^\{3} [/mm] - [mm] \lambda^{2} k^{3} [/mm] - 2 [mm] \lambda^{2} [/mm] + 2 [mm] \lambda k^{3} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - [mm] k^{3} [/mm] =0
Wäre die Nullstelle jetzt bei "1" ???
Wenn ja, mache ich mit polynomdiv weiter um die anderen beiden NS zu ermitteln, jedoch komme ich bei der div nicht zum ende (wenn es überhaupt der richtige weg ist)
Zur Matrix B:
Kann ich nicht die werte aller anderen zeilen eliminieren indem ich die erste zeile von den anderen subtrahiere?
schließlich sind die werte aller Zeilen immer gleich, oder?
Was sollte ich danach machen?
bleibt mir eine (1xn)-Matrix?
ich finds sinnlos
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper und k, [mm]c_{1},[/mm] ... , [mm]c_{1} \in[/mm] K.
> Berechnen sie die Eigenwerte von
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ k^{3} & -3k^{2} & 3k }[/mm]
>
> B= [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} & ... & c_{n} \\ c_{1} & c_{2} & ... & c_{n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{1} & c_{2} & ... & c_{n} }[/mm]
>
> Zur Matrix A:
>
> Ich habe mir gedacht, die letzte Zeile nach oben zu
> verschieben.
> somit sähe die Matrix so aus
>
> A= [mm]\pmat{ k^{3} & -3k^{2} & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Nun: det ( [mm]\lambda[/mm] *E - A )
>
> =>
>
> [mm]\pmat{ \lambda - k^{3} & 3k^{2} & -3k \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda - 1 }[/mm]
>
>
> Nun Sarrus anzuwenden um auf das char polynom zu kommen.
>
> Damit erhalte ich
> ( [mm]\lambda[/mm] - [mm]k^{3}[/mm] ) ( [mm]\lambda[/mm] - 1 ) ( [mm]\lambda[/mm] -1 ) =^{!} 0
>
> <=> [mm]\lambda^\{3}[/mm] - [mm]\lambda^{2} k^{3}[/mm] - 2 [mm]\lambda^{2}[/mm] + 2
> [mm]\lambda k^{3}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] - [mm]k^{3}[/mm] =0
>
> Wäre die Nullstelle jetzt bei "1" ???
>
> Wenn ja, mache ich mit polynomdiv weiter um die anderen
> beiden NS zu ermitteln, jedoch komme ich bei der div nicht
> zum ende (wenn es überhaupt der richtige weg ist)
Mein gott, an der Gl.
( [mm]\lambda[/mm] - [mm]k^{3}[/mm] ) ( [mm]\lambda[/mm] - 1 ) ( [mm]\lambda[/mm] -1 ) = 0
Kannst Du die Eigenwerte ablesen: [mm] k^3 [/mm] und 1
>
>
>
> Zur Matrix B:
> Kann ich nicht die werte aller anderen zeilen eliminieren
> indem ich die erste zeile von den anderen subtrahiere?
> schließlich sind die werte aller Zeilen immer gleich,
> oder?
>
> Was sollte ich danach machen?
> bleibt mir eine (1xn)-Matrix?
> ich finds sinnlos
Gehe so vor:
1. [mm] \lambda=0 [/mm] ist ein Eigenwert von B , denn B ist nicht invertierbar.
2. Für einen Eigenwert [mm] \lambda \ne [/mm] 0 mache mit einem Vektor x [mm] \in K^n, [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0, den Ansatz
Bx= [mm] \lambda [/mm] x.
Ist [mm] x=(x_1,...,x_n)^t, [/mm] so zeige: [mm] x_1=x_2=...=x_n. [/mm] Folgere daraus:
[mm] \lambda= c_1+c_2+...+c_n.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Do 18.04.2013 | | Autor: | Aguero |
ich glaube verstanden zu haben was du meinst, aber keine ahnung wie ich es anstellen soll.
bis
Bx = [mm] \lambda [/mm] x
komme ich mit.
1. Warum soll ich zeigen dass die zeilen des Vektors alle gleich sind? und wie?
2.warum ist [mm] \lambda [/mm] = die summe einer Zeile der Matrix B
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
modifiziere das Gleichungssystem
[mm] c_1*x_1+ [/mm] ... [mm] c_n*x_n=\lambda*x_1
[/mm]
[mm] c_1*x_1+ [/mm] ... [mm] c_n*x_n=\lambda*x_n
[/mm]
durch Multiplikation der ersten Gleichung mit (-1) und anschließender Addition zu allen anderen Gleichungen.
Daraus kannst Du schließen das gilt [mm] x_1= [/mm] ... [mm] =x_n
[/mm]
Anschließend kannst Du daraus ebenfalls schließen, dass [mm] \lambda=c_1+ [/mm] ... [mm] +c_n [/mm] gilt
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