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| Aufgabe | | Gegeben sind Matrizen A und B. Bestimme alle Eigenwerte von A, B, AB und BA. |
Es ist
$A = [mm] \begin{pmatrix} cos(a) & -sin(a) & 0 \\ sin(a) & cos(a) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] sowie
$B = [mm] \begin{pmatrix} cos(b) & 0 & -sin(b) \\ 0 & 1 & 0 \\ sin(b) & 0 & cos(b) \end{pmatrix}$.
[/mm]
Ich setze $a = sin(a), b = cos(a), c = sin(b), d = cos(b)$:
1) Zur Bestimmung der Eigenwerte von A bin ich so vorgegangen:
Das charakteristische Polynom [mm] $P_A(\lambda) [/mm] = det(A - [mm] \lambda \cdot E_n)$.
[/mm]
$det(A - [mm] \lambda \cdot E_n) [/mm] = [mm] (1-\lambda) \cdot [/mm] [ [mm] (b-\lambda)^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] ] = (1 - [mm] \lambda)(\lambda^2 [/mm] - [mm] 2b\lambda [/mm] +1)$. (denn [mm] a^2+b^2 [/mm] = 1).
1.1) DIe Nullstellen sind einmal [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$ (für den ersten Faktor). D.h. ein Eigenwert ist +1.
Die andere Nullstelle lautet $b$, insofern [mm] $b^2 [/mm] = 1$, d.h. $b = [mm] \pm [/mm] 1$, was bedeutet dass $cos(a) = [mm] \pm [/mm] 1$. Also gibt es nur weitere Nullstellen für $a = 0$ oder $a = [mm] \pi$ [/mm] (wenn man den Winkel a auf [0, 2pi) beschränkt).
Naja und das heißt doch, dass meine Nullstellen lauten:
+1, +1 (für a =0) und -1 (für a = pi) ??
2) Zur Matrix B dann später :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Kartoffelchen,
ich kann bestätigen, dass [mm] \lambda=1 [/mm] eine Lösung ist und dass [mm] (b-\lambda)^2+a^2=0\gdw \lambda^2-2b\lambda+1=0 [/mm] nur dann eine Lösung in [mm] \IR [/mm] hat, wenn [mm] b\ge1 [/mm] oder [mm] b\le-1 [/mm] ist. Da [mm] -1\le b\le1, [/mm] muss b=1 oder b=-1 eine Lösung sein. Deine folgenden Implikationen sind ebenfalls richtig:
> was bedeutet dass [mm]cos(a) = \pm 1[/mm]. Also gibt es nur weitere
> Nullstellen für [mm]a = 0[/mm] oder [mm]a = \pi[/mm] (wenn man den Winkel a
> auf [0, 2pi) beschränkt).
>
> Naja und das heißt doch, dass meine Nullstellen lauten:
>
> +1, +1 (für a =0) und -1 (für a = pi) ??
MfG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Kartoffelchen,
>
> ich kann bestätigen, dass [mm]\lambda=1[/mm] eine Lösung ist und
> dass [mm](b-\lambda)^2+a^2=0\gdw \lambda^2-2b\lambda+1=0[/mm] nur
> dann eine Lösung in [mm]\IR[/mm] hat, wenn [mm]b\ge1[/mm] oder [mm]b\le-1[/mm] ist.
> Da [mm]-1\le b\le1,[/mm] muss b=1 oder b=-1 eine Lösung sein.
Und was ist mit |b|<1 ????
> Deine
> folgenden Implikationen sind ebenfalls richtig:
Sind sie nicht !
FRED
>
> > was bedeutet dass [mm]cos(a) = \pm 1[/mm]. Also gibt es nur weitere
> > Nullstellen für [mm]a = 0[/mm] oder [mm]a = \pi[/mm] (wenn man den Winkel a
> > auf [0, 2pi) beschränkt).
> >
> > Naja und das heißt doch, dass meine Nullstellen lauten:
> >
> > +1, +1 (für a =0) und -1 (für a = pi) ??
>
> MfG Ladon
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Fred,
> > ich kann bestätigen, dass [mm]\lambda=1[/mm] eine Lösung ist und
> > dass [mm](b-\lambda)^2+a^2=0\gdw \lambda^2-2b\lambda+1=0[/mm] nur
> > dann eine Lösung in [mm]\IR[/mm] hat, wenn [mm]b\ge1[/mm] oder [mm]b\le-1[/mm] ist.
> > Da [mm]-1\le b\le1,[/mm] muss b=1 oder b=-1 eine Lösung sein.
>
> Und was ist mit |b|<1 ????
ich habe erwähnt, dass dies für Lösung in [mm] \IR [/mm] gilt! Komplexe Lösungen habe ich bewusst rausgelassen. Vielleicht hätte ich das noch erwähnen sollen.
MfG Ladon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > ich kann bestätigen, dass [mm]\lambda=1[/mm] eine Lösung ist und
> > > dass [mm](b-\lambda)^2+a^2=0\gdw \lambda^2-2b\lambda+1=0[/mm] nur
> > > dann eine Lösung in [mm]\IR[/mm] hat, wenn [mm]b\ge1[/mm] oder [mm]b\le-1[/mm] ist.
> > > Da [mm]-1\le b\le1,[/mm] muss b=1 oder b=-1 eine Lösung sein.
> >
> > Und was ist mit |b|<1 ????
>
> ich habe erwähnt, dass dies für Lösung in [mm]\IR[/mm] gilt!
> Komplexe Lösungen habe ich bewusst rausgelassen.
Warum ?
FRED
> Vielleicht hätte ich das noch erwähnen sollen.
>
> MfG Ladon
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind Matrizen A und B. Bestimme alle Eigenwerte von
> A, B, AB und BA.
> Es ist
>
> [mm]A = \begin{pmatrix} cos(a) & -sin(a) & 0 \\ sin(a) & cos(a) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> sowie
>
> [mm]B = \begin{pmatrix} cos(b) & 0 & -sin(b) \\ 0 & 1 & 0 \\ sin(b) & 0 & cos(b) \end{pmatrix}[/mm].
>
> Ich setze [mm]a = sin(a), b = cos(a), c = sin(b), d = cos(b)[/mm]:
Das sind ganz schlechte Bezeichnungen ! a und auch b kommen in 2 Bedeutungeng vor !
>
> 1) Zur Bestimmung der Eigenwerte von A bin ich so
> vorgegangen:
>
> Das charakteristische Polynom [mm]P_A(\lambda) = det(A - \lambda \cdot E_n)[/mm].
>
> [mm]det(A - \lambda \cdot E_n) = (1-\lambda) \cdot [ (b-\lambda)^2 + a^2 ] = (1 - \lambda)(\lambda^2 - 2b\lambda +1)[/mm].
> (denn [mm]a^2+b^2[/mm] = 1).
Es ist also b=cos(a)
>
> 1.1) DIe Nullstellen sind einmal [mm]\lambda_1 = 1[/mm] (für den
> ersten Faktor). D.h. ein Eigenwert ist +1.
Ja.
>
> Die andere Nullstelle lautet [mm]b[/mm], insofern [mm]b^2 = 1[/mm], d.h. [mm]b = \pm 1[/mm],
> was bedeutet dass [mm]cos(a) = \pm 1[/mm]. Also gibt es nur weitere
> Nullstellen für [mm]a = 0[/mm] oder [mm]a = \pi[/mm] (wenn man den Winkel a
> auf [0, 2pi) beschränkt).
Das ist doch Unsinn ! Du hast den Fall |b|<1 nicht betrachtet !
Ist |b|<1, so hat die Gleichung
[mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 2b\lambda [/mm] +1=0
komplexe Lösungen !
FRED
>
> Naja und das heißt doch, dass meine Nullstellen lauten:
>
> +1, +1 (für a =0) und -1 (für a = pi) ??
>
>
> 2) Zur Matrix B dann später :)
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Hallo,
vielleicht sollte ich dann lieber
[mm] $sin(\alpha) [/mm] =: a, [mm] cos(\beta) [/mm] =: b, ...$ setzen!
Ich wusste nicht, dass komplexe Lösungen Eigenwerte sein dürfen.
Wie berechne ich denn dann die Wurzel, also
[mm] $\sqrt{4b^2 - 4} [/mm] = [mm] 2\sqrt{b^2-1}$ [/mm] wenn [mm] b^2-1 [/mm] dann negativ wird?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielleicht sollte ich dann lieber
> [mm]sin(\alpha) =: a, cos(\beta) =: b, ...[/mm] setzen!
>
> Ich wusste nicht, dass komplexe Lösungen Eigenwerte sein
> dürfen.
>
> Wie berechne ich denn dann die Wurzel, also
> [mm]\sqrt{4b^2 - 4} = 2\sqrt{b^2-1}[/mm] wenn [mm]b^2-1[/mm] dann negativ
> wird?
Ist x [mm] \in \IR [/mm] und x<0, so sind ( in [mm] \IC) [/mm] die Wurzeln aus x gegeben durch
[mm] $\pm i*\wurzel{-x}$
[/mm]
FRED
>
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$ [mm] \pm i\cdot{}\wurzel{-x} [/mm] $
Das heißt ja dann für x = [mm] b^2 [/mm] - 1
$ [mm] \pm i\cdot{}\wurzel{sin(\alpha)^2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i [mm] \cdot sin(\alpha) [/mm] $
Insgesamt also dann
Eigenwerte: $1, [mm] e^{i\alpha}, e^{-i\alpha}$ [/mm] ?
Denn [mm] $e^{ix} [/mm] = cos(x) + [mm] i\cdot [/mm] sin(x)$ und $ [mm] e^{-ix} [/mm] = cos(x) - [mm] i\cdot [/mm] sin(x)$.
Stimmt das nun?
Wie bestimme ich weiterhin Eigenwerte von dem Matrizenprodukt A*B?
Wenn ich das wieder über das charakteristische Polynom mache und löse, erhalte ich letztendlich
$det(AB - [mm] \lambda \cdot E_n) [/mm] =- [mm] \lambda^3+\lambda^2(d+b+bd)+\lambda(-b-d+bd)+1$. [/mm]
Sicherlich habe ich mich auch hier wieder verrechnet. Aber sollte es richtig sein, wie bestimme ich dann die Nullstellen mit meinen ganzen b und d?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 21.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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