Eigenwerte bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Di 16.12.2008 | | Autor: | jansimak |
Hallo zusammen, ich habe ein Problem, und zwar habe ich folgende Matrix vorliegen:
[mm] \vmat{ \bruch{n}{(n+1)^2 *(n+1)} & \bruch{1}{(n+1)^2 *(n+1)} \\ \bruch{1}{(n+1)^2 *(n+1)} & \bruch{n}{(n+1)^2 *(n+1)} }
[/mm]
Meine Idee war jetzt einfach den Nenner zu explizieren, somit lautet die Matrix nun:
[mm] \bruch{1}{(n+1)^2 *(n+1)}*\vmat{ n & 1 \\ 1 & n }
[/mm]
Es ergibt sich bei der Berechnung der Eigenwerte:
[mm] (\lambda [/mm] - [mm] n)^2 [/mm] -1 = 0
Das heisst, die zugehörigen Eigenwerte sind:
[mm] \lambda [/mm] = n+1 bzw [mm] \lambda [/mm] = n-1
Erstmal die Zwischenfrage, soweit alles richtig gerechnet? Und weiterhin:
Kann ich zur Bestimmung der Eigenvektoren jetzt weiterrechnen und den Quotienten am Ende an das Ergebnis mutliplizieren?
Ich habe nämlich im Folgenden für [mm] \lambda [/mm] = n+1 das folgende Gleichungssystem aufgestellt:
n-(n+1) x1 + x2 = 0
x1 + n-(n+1) x2 = 0
Es ergibt sich also:
-x1 + x2 = 0
x1 - x2 = 0
Also x1 = x2
Für [mm] \lambda [/mm] = n-1 analog
n-(n-1) x1 + x2 = 0
x1 + n-(n-1) = 0
<=>
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 0
also x1 = -x2
Ehrlich gesagt, verwundert mich dieses Ergebnis irgendwie und denke daher, dass ich irgendwo einen Denkfehler gemacht haben muss. Ich würde mich daher sehr darüber freuen, wenn jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Di 16.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Erstmal die Zwischenfrage, soweit alles richtig gerechnet?
Ja.
Mal allgemein:
Du hast die Matrix A und willst deren Eigenwerte und Eigenvektoren.
Jetzt kannst Du bei A den Faktor b ausklammern und übrig bleibt C, also:
A=bC
Das bedeutet für EW [mm] $\lambda$ [/mm] mit EV [mm] $\mathbf{v}$ [/mm] von A:
[mm] $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$
[/mm]
$bC [mm] \mathbf{v}= \lambda \mathbf{v}$
[/mm]
[mm] $C\mathbf{v}=(\frac{1}{b}\lambda)\mathbf{v}$
[/mm]
(nicht vergessen: b und [mm] $\lambda$ [/mm] sind Zahlen, [mm] $\mathbf{v}$ [/mm] ein Vektor)
d.h. C hat die gleichen Eigenvektoren, die Eigenwerte sind aber skaliert
> Ehrlich gesagt, verwundert mich dieses Ergebnis irgendwie
wieso?
> und denke daher, dass ich irgendwo einen Denkfehler gemacht
> haben muss. Ich würde mich daher sehr darüber freuen, wenn
> jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte.
Wie wär's wenn Du einfach probierst, ob das Ergebnis stimmt?
[mm] $\pmat{ n & 1 \\ 1 & n } \pmat{1\\-1}=(n-1)\pmat{1\\ -1}\ [/mm] \ [mm] \Rightarrow$ [/mm] stimmt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mi 17.12.2008 | | Autor: | jansimak |
Okay, das kann ich nachvollziehen.
Aber wie würde denn jetzt die formal richtige Lösung aussehen? Also für Eigenwerte, sowie zugehörige Eigenvektoren?
Müssten dazu dann die Eigenwerte mit b multipliziert werden? Also mit [mm] \bruch {1}{(n+1)^2 *(n+2)}?
[/mm]
Wie würde man die Eigenvektoren in diesem Fall aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Müssten dazu dann die Eigenwerte mit b multipliziert
> werden? Also mit [mm]\bruch {1}{(n+1)^2 *(n+2)}?[/mm]
ja.
> Wie würde man die Eigenvektoren in diesem Fall
> aufschreiben?
Naja, Du suchst Dir jeweils einen Repräsentanten mit Hilfe Deiner Vorschriften:
[mm] $x_1=x_2$, [/mm] also ist z.B. [mm] $\pmat{1\\ 1}$ [/mm] ein Eigenvektor zum EW [mm] $b\cdot(n+1)$.
[/mm]
[mm] $x_1=-x_2$, [/mm] also ist [mm] $\pmat{1\\ -1}$ [/mm] ein Eigenvektor zum EW [mm] $b\cdot(n-1)$
[/mm]
ciao
Stefan
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