Eigenwerte der Hessematrix < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Fr 14.11.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe |
Berechne den Gradienten, die Hessematrix und die Eigenwerte der Hessematrix an der Stelle x*=(1,-1)
[mm] $f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \frac{x+y} {x^2+1}$
[/mm]
|
Also, was ich gemacht habe :
[mm] $\bigtriangledown [/mm] f(x,y) =$ [mm] \begin{pmatrix}
\frac{-x^2-2xy+1}{(x^2+1)^2}\\
\frac{x^2+1} {(x^2+1)^2}
\end{pmatrix}
[/mm]
Und jetzt bestimme ich die Hessematrix und zwar leite ich den Gradienten ab.
Hessematrix H = [mm] \begin{pmatrix}
\frac{(-2x-2y) (x^2+1) - (1-x^2-2xy)4x} {(x^2+1)^3} & \frac{-2x+1}{(x^2+1)^2}\\
\\
\frac{-2x}{(x^2+1)^2} & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Und um die EW der Hessematrix zu finden soll det [mm] (H-$\lambda$I) [/mm] = 0 sein.
das heisst :
det [mm] \begin{pmatrix}
\frac{(-2x-2y) (x^2+1) - (1-x^2-2xy)4x } {(x^2+1)^3} -\lambda& \frac{-2x+1}{(x^2+1)^2}\\
\\
\frac{-2x}{(x^2+1)^2} & 0-\lambda
\end{pmatrix} [/mm] = 0
Laut dieser Regel :
det [mm] \begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix} [/mm] = ad - bd
bekomme ich folgendes
[mm] $\frac{-\lambda (-2x-2y) (x^2+1)+(1-x^2-2xy)4\lambda x}{(x^2+1)^3} [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] \frac{4x^2}{(x^2+1)^4} [/mm] = 0 $
Und ich kann die EW nicht suchen weil es noch Variablen x und y stehen.
Wäre dankbar wenn jemand mir Tipps oder Hinweise geben kann.
|
|
| |
|
Hallo ow...
>
>
> Berechne den Gradienten, die Hessematrix und die Eigenwerte
> der Hessematrix an der Stelle x*=(1,-1)
>
> [mm] $f(\red{x,y}) [/mm] = [mm] \frac{x+y} {x^2+1}$
[/mm]
>
>
>
> Also, was ich gemacht habe :
>
> [mm]\bigtriangledown f(x,y) =[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
\frac{-x^2-2xy+1}{(x^2+1)^2}\\
\frac{x^2+1} {(x^2+1)^2}
\end{pmatrix}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In der zweiten Komponente kannst du noch nett kürzen ...
>
> Und jetzt bestimme ich die Hessematrix und zwar leite ich
> den Gradienten ab.
>
> Hessematrix H = [mm]\begin{pmatrix}
\frac{(-2x-2y) (x^2+1) - (1-x^2-2xy)4x} {(x^2+1)^3} & \frac{-2x+1}{(x^2+1)^2}\\
\\
\frac{-2x}{(x^2+1)^2} & 0
\end{pmatrix}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Eintrag [mm] $h_{1,2}$ [/mm] stimmt nicht, es ist (Satz von Schwarz) [mm] $f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
[/mm]
Den Eintrag [mm] $h_{1,1}$ [/mm] kannst du noch schön vereinfachen zu [mm] $...=\frac{2(x^3+3x^2y-3x-y)}{(x^2 + 1)^3}$
[/mm]
>
> Und um die EW der Hessematrix zu finden soll det
> (H-[mm]\lambda[/mm]I) = 0 sein.
>
> das heisst :
> det [mm]\begin{pmatrix}
\frac{(-2x-2y) (x^2+1) - (1-x^2-2xy)4x } {(x^2+1)^3} -\lambda& \frac{-2x+1}{(x^2+1)^2}\\
\\
\frac{-2x}{(x^2+1)^2} & 0-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
> = 0
Boah, mache das doch nicht allgemein, da wirste ja bekloppt, du sollst doch nur die Eigenwerte der Hessematrix an der Stelle $(x,y)=(1,-1)$ berechnen.
[mm] $H_f(x,y)=\pmat{\frac{2(x^3+3x^2y-3x-y)}{(x^2 + 1)^3}&-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\\-\frac{2x}{(x^2+1)^2}&0}$
[/mm]
Also [mm] $H_f(1,-1)=\pmat{\frac{2(1^3+3\cdot{}1^2(-1)-3\cdot{}1-(-1))}{(1^2 + 1)^3}&-\frac{2\cdot{}1}{(1^2+1)^2}\\-\frac{2\cdot{}1}{(1^2+1)^2}&0}=\pmat{-1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&0}$
[/mm]
Und die Eigenwerte hiervon lassen sich doch bestimmt besser ausrechnen ...
>
> Laut dieser Regel :
> det [mm]\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}[/mm] = ad - bd
>
> bekomme ich folgendes
>
> [mm]\frac{-\lambda (-2x-2y) (x^2+1)+(1-x^2-2xy)4\lambda x}{(x^2+1)^3} + \lambda^2 - \frac{4x^2}{(x^2+1)^4} = 0[/mm]
>
> Und ich kann die EW nicht suchen weil es noch Variablen x
> und y stehen.
>
> Wäre dankbar wenn jemand mir Tipps oder Hinweise geben
> kann.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 16.11.2008 | | Autor: | ow... |
ich danke dir... :)
ich glaube, ich habe jetzt richtig gemacht nachdem du korrigiert hast .
|
|
|
|
