Eigenwerte einer Matrix A=A^-1 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 15.04.2012 | | Autor: | SQSQ |
| Aufgabe | | Gegeben sei eine quadratische Matrix A mit der Eigenschaft, dass AA = E (die Einheitsmatrix) ist. a) Welche Werte kann ein Eigenwert von A haben? b) Berechnen Sie [mm] A^n [/mm] = AAA...A (n Faktoren). |
--- Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ---
Hi,
mit meinem mathematischen Hintergrundwissen komme ich so weit:
A = Inverse von A
Ist das ein Hinweis auf eine Eigenschaft (z.B. "die Eigenwerte können nur reell sein")? Was kann ich daraus schließen und auf welcher Grundlage?
Und wie ist Teil b) zu bearbeiten, wenn A an sich nicht gegeben ist?
|
|
| |
|
Hallo,
> Gegeben sei eine quadratische Matrix A mit der Eigenschaft,
> dass AA = E (die Einheitsmatrix) ist. a) Welche Werte kann
> ein Eigenwert von A haben? b) Berechnen Sie [mm]A^n[/mm] = AAA...A
> (n Faktoren).
> mit meinem mathematischen Hintergrundwissen komme ich so
> weit:
> A = Inverse von A
>
> Ist das ein Hinweis auf eine Eigenschaft (z.B. "die
> Eigenwerte können nur reell sein")? Was kann ich daraus
> schließen und auf welcher Grundlage?
Wenn die Matrix $A$ den Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] besitzt, muss es einen Vektor [mm] $x\not= [/mm] 0$ geben, sodass
$Ax = [mm] \lambda [/mm] x$ (*)
gilt.
1) Warum kann [mm] $\lambda [/mm] = 0$ nicht eintreten, wenn $A$ eine Inverse hat?
2) Wende jetzt bei (*) auf beiden Seiten [mm] $A^{-1}$ [/mm] an und teile durch [mm] $\lambda$. [/mm] Was kannst du daraus schließen?
Grüße,
Stefan
> Und wie ist Teil b) zu bearbeiten, wenn A an sich nicht
> gegeben ist?
Wenn $AA = E$ ist, kannst du doch aus dem Produkt $A*A*A*A*A*A...$ ganz viel wegkürzen!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 15.04.2012 | | Autor: | SQSQ |
Riesigen Dank für die Hinweise!!!
Also:
1) [mm] \lambda [/mm] = 0 gilt nur dann, wenn A die Nullmatrix ist. A ist aber invertierbar, damit ist [mm] det(A)\not=0 [/mm] (ist diese Begründung so korrekt?) und A nicht die Nullmatrix. Mit [mm] \lambda\not=0 [/mm] ist sichergestellt, dass man durch [mm] \lambda [/mm] teilen darf:
$ Ax = [mm] \lambda [/mm] x $
$ [mm] A^{-1} [/mm] Ax = [mm] A^{-1} \lambda [/mm] x $
$ [mm] (1/\lambda) [/mm] E x = [mm] A^{-1} [/mm] x $
-> $ [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] (1/\lambda) [/mm] E $
2) $ [mm] A^n [/mm] = A $, wenn n ungerade; $ [mm] A^n [/mm] = E $, wenn n gerade
Nachtrag: kann man zu den Eigenwerten mehr sagen als [mm] \lambda\not=0?[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> 1) [mm]\lambda[/mm] = 0 gilt nur dann, wenn A die Nullmatrix ist.
Warum denn das? Die Annahme war ja nur, dass es einen Vektor [mm] $x\not=0$ [/mm] mit [mm] $Ax=\lambda [/mm] x$ gibt, nicht dass diese Gleichheit für alle Vektoren $x$ gilt.
Wäre [mm] $\lambda=0$, [/mm] wäre $x$ im Kern von $A$ und damit dieser nicht $0$. Kann das für invertierbare Matrizen $A$ sein?
> Mit [mm]\lambda\not=0[/mm] ist sichergestellt, dass man durch [mm]\lambda[/mm] teilen darf:
> [mm]Ax = \lambda x[/mm]
>
> [mm]A^{-1} Ax = A^{-1} \lambda x[/mm]
>
> [mm](1/\lambda) E x = A^{-1} x[/mm]
Genau, also
[mm] $\bruch1\lambda x=A^{-1}x=Ax=\lambda [/mm] x$.
Wisst ihr, dass zwei Vielfache eines Vektors, der nicht der Nullvektor ist, nur dann übereinstimmen, wenn die beiden Faktoren übereinstimmen?
Also [mm] $\bruch1\lambda=\lambda$.
[/mm]
Kannst du diese Gleichung lösen?
Alternativer direkterer Weg:
Sei wieder $x$ ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$.
[/mm]
Rechne
[mm] $x=Ex=AAx=\ldots$
[/mm]
aus.
Du erhältst so [mm] $x=\lambda^2x$ [/mm] und somit [mm] $1=\lambda^2$.
[/mm]
> -> $ [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] (1/\lambda) [/mm] E $
Das stimmt nicht, da die Gleichheit
> [mm](1/\lambda) E x = A^{-1} x[/mm]
nur für unser vorgegebenes $x$ und nicht für alle $x$ galt.
> 2) [mm]A^n = A [/mm], wenn n ungerade; [mm]A^n = E [/mm], wenn n gerade
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr gut!
> Nachtrag: kann man zu den Eigenwerten mehr sagen als
> [mm]\lambda\not=0?[/mm]
Ja.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mo 16.04.2012 | | Autor: | SQSQ |
Aaah, jetzt habe ich es begriffen. Danke!!!
|
|
|
|
