Eigenwerte finden < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm]V[/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm] und sei [mm]F[/mm] die Abbildung:
[mm]F : V \ni f(x) \rightarrow F(f) = x \cdot f'(x) \in V [/mm].
Finden Sie alle Eigenwerte dieser Abbildung. Finden Sie eine Basis in der die Abbildung durch
eine Diagonalmatrix dargestellt wird. |
Mein Problem liegt schon ganz zu Anfang:
Um Eigenwerte zu finden brauche ich doch die Darstellungsmatrix der Abbildung. Wie bestimme ich die?
Ach ja: "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. "
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 26.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Mache den Ansatz
F(f) = tf für einen Eigenwert t und einen Eigenvektor f.
Dies führt auf die DGL
xf'(x) = tf(x) für jedes x in R.
Löse diese DGL, beachte dabei, dass f ein Polynom vom grad kleinergleich 3 ist.
Hilft das ? Bemerkung: F hat die Eigenwerte 0, 1, 2 und 3
FRED
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Was bedeutet denn DGL?
|
|
|
| |
|
> Was bedeutet denn DGL?
Hallo,
Differentialgleichung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du kannst hier natürlich auch den Weg über die Darstellungsmatrix gehen.
Weißt Du denn, wie man normalerweise zur Darstellungsmatrix kommt? Mal grob gesagt. in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.
Genauso kannst Du es auch hier machen.
Dimm die Standardbasis B des Vektorraumes der reellen Polynome vom Höchstgrad 3, B=(1, x, x², x³), und berechne die Bilder der Basisvektoren 1, x, x² und x³ unter der Abbildung F.
Schreibe die Bilder als Linearkombination der Basisvektoren von B. Die Koeffizienten ergeben den Einträge der matrix.
Beispiel:
[mm] F(x²)=2x²=0*1+0*x+2*x²+0*x³=\vektor{0 \\ 0\\2\\0}_{(B)}, [/mm] und dies wäre die 3.Spalte der Darstellungsmatrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen Dank! Das mit den Bildern der Basisvektoren war mir nicht mehr im Kopf.
Werde es mal versuchen.
|
|
|
| |
|
hmm, dann bekomme ich ja folgende Abbildungsmatrix:
[mm]\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}[/mm]
wo ich dann ja die Eigenwerte direkt ablesen kann, weil es sich ja um eine Diagonalmatrix handelt, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 26.06.2008 | | Autor: | fred97 |
So ist es .
FRED
|
|
|
|
