Eigenwerte lineare unabhängigk < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Do 25.09.2008 | | Autor: | fenris |
| Aufgabe | zu zeigen:
aus paarweise verschiedenen eigenwerten folgt, dass die entsprechenden eigenvektoren linear unabhängig sind. |
Das war die aufgabenstellung in einer mündlichen Prüfung.
ich hab das folgendermaßen gemacht:
ich wollte die umkehrung zeigen:
also linear abhängige verktoren haben die selben eigenwerte.
wenn also v1 ein eigenvektor zum eigenwert k1, dann ist v2, dass linear abhängig zu v1 ist, ebenfalls in dem eigenraum von v1.
Somit haben v1 und v2 denselben eigenwert.
beweis abgelschlossen.
Man sagte mir aber, dass das ganze falsch ist.
Könnt ihr mir helfen?? ist das richtig?? was ist falsch???
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> zu zeigen:
> aus paarweise verschiedenen eigenwerten folgt, dass die
> entsprechenden eigenvektoren linear unabhängig sind.
> Das war die aufgabenstellung in einer mündlichen Prüfung.
> ich hab das folgendermaßen gemacht:
> ich wollte die umkehrung zeigen:
> also linear abhängige verktoren haben die selben
> eigenwerte.
Hallo,
das dürfte schwerlich gelingen, weil die Umkehrung nicht stimmt.
Du hast doch bestimmt in Hausübungen schonmal Matrizen gehabt, deren Eigenraum zu einem Eigenwert eine größere Dimension hatte als 1.
sehr einfaches Beispiel [mm] \pmat{ 5 & 0 \\ 0 & 5 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 25.09.2008 | | Autor: | fenris |
ja schon...
in diesem beispiel haben ich den eigenwert 5 mit algebraischer und geometrischer vielfachheit 2.
jeder verktor der in dem eigenraum liegt.... ist ja der R2...
hat doch dann den selben eigenwert... oder nicht...
an welcher stelle mache ich den fehler???
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Hallo,
achso, ich habe Dein Post irgendwie nicht genau genug gelesen, so daß meine Antwort von zuvor gar nicht paßt. Entschuldigung.
Du könntest natürlich statt der zu zeigenden Aussage deren Kontraposition zeigen, also:
Die Eigenvektoren [mm] v_i [/mm] zu den Eigenwerten [mm] \lambda_i [/mm] sind linear abhängig ==> mindestens zwei der [mm] \lambda_i [/mm] sind gleich.
Du hast das bisher für i=2 gezeigt, indem Du gezeigt hast, daß jeder von [mm] v_1 [/mm] linear abhängige Vektor denselben Eigenwert hat, bzw. auch im entsprechenden Eigenraum liegt.
Die Gültigkeit der Aussage für drei und mehr linear abhängige Eigenvektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] mit den Eigenwerten [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] steht aus, und insofern ist die Behauptung nicht bewiesen. (Ich denke auch, daß die andere Richtung einfacher ist.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Do 25.09.2008 | | Autor: | fenris |
ah ok gut...
es ging nicht darum, dass ich es nur für n=2 gezeigt habe, sondern sie haben den beweis, sowie ich ihn erklärt habe, nicht verstanden.
sie haben ähnlich wie du argumentiert..
dass ja im eigenraum auch vektoren seien können, die linear unabhängig sind (für dim größer gleich 2)
aber darauf kommt es ja nicht an.
denn wenn ein vektor linear abhängig zu einem vektor im eigenraum ist, dann ist dieser dort drin... sprich der vektor hat denselben eigenwert....
der rest ist induktion.
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> denn wenn ein vektor linear abhängig zu einem vektor im
> eigenraum ist, dann ist dieser dort drin... sprich der
> vektor hat denselben eigenwert....
> der rest ist induktion.
Hallo,
aber wenn ich drei linear abhängige Vektoren habe, dann sind die nicht unbedingt paarweise linear abhängig.
Du kannst ja aus [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0 [/mm] mit etwa [mm] a_3\not=0 [/mm] nicht schließen, daß der Vektor [mm] v_3 [/mm] eine Vielfaches von [mm] v_2 [/mm] oder [mm] v_1 [/mm] ist.
Von daher bin ich etwas skeptisch mit der Induktion.
Gruß v. Angela
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