Eigenwerte ohne zu rechnen? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Sa 26.11.2005 | | Autor: | muhkuh |
hallo!
ich hab mal ne frage zu ner Hausaufgabe. Bis jetzt hab ich alle Antworten schon im Forum gefunden. Für die leider nicht...
bitte postet keine komplette lösung, da ich die aufgabe selber lösen will, ich brauch lediglich nen Ansatz. Den hab ich bis jetzt nicht gefunden =(.
Hier ist erstmal die Aufgabe:
" Die 3x3 Matrix A sein die darstellende Matrix der Spiegelung an der Ebene mit der Hesse-Gleichung [mm] \vec{x}*(0,-1,1)^{T}=0.
[/mm]
die 3x3 Matrix B sei die darstellende Matrix der Drehung um die Achse [mm] {t(3,0,1)^{T} | t \in \IR } [/mm] mit Winkel [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{/Pi}{2} [/mm] .
Man gebe ohne Rechnung die Eigenwerte von A und B und die zugehörigen Eigenvektoren an. Wie sind die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte in den beiden obigen Fällen? In welchem Fall gibt es eine Basis aus Eigenvektoren?"
so...also...hier meine ersten überlegungen:
wenn A die darstellende Matrix ist, und die Spiegelung an der Ebene die Lin.Abb. L ist, dann gilt doch: L* [mm] \vec{x}=A* \vec{x}
[/mm]
-erste Frage: Oben in der Gleichung steckt ja schon ein [mm] \vec{x} [/mm] drin; ist L dann also eigentlich nur der zu transponierende Vektor (0,-1,1)?
-zweitens: Die EWe sind ja def. durch [mm] A*\vec{v}= \lambda*\vec{v}; [/mm] ist das A jetzt die 3x3 Matrix oder die LinAbb. L?
zur geometrischen vielfachheit: die sollte dann kein problem mehr sein, wenn ich die EWe und EVen habe. das ist doch die Dimension des Eigenraums oder? Also die Dim. des Vektorraums der alle Eigenvektoren beinhaltet?
das war mein erster thread...hoffe ich hab gegen keine forenregeln verstoßen?!
würde mich über jeden kleinen Ansatz freuen...danke und ein schönes WE noch.
stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Sa 26.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi muhkuh und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
schön ,dass du eigene Ansätze mitpostest, so sehen wir gleich, wo deien Probleme wirklich liegen.
> wenn A die darstellende Matrix ist, und die Spiegelung an
> der Ebene die Lin.Abb. L ist, dann gilt doch: L* [mm]\vec{x}=A* \vec{x}[/mm]
Ähm, wenn A die darstellende Matrix von L sein soll, muss aber gelten L(x)=A*x
Das eine ist ein Funktionsvariable und das andere mal ein Multiplikation an die Matrix
> -erste Frage: Oben in der Gleichung steckt ja schon ein
> [mm]\vec{x}[/mm] drin; ist L dann also eigentlich nur der zu
> transponierende Vektor (0,-1,1)?
Nein, in der Aufgabenstellung ist mit [mm] $x*\vektor{0\\-1\\1}=0$ [/mm] nur die Ebene beschrieben, an der gespiegelt werden soll - dies sind nämlich alle Punkte, die auf dem besagten Vektor senkrecht stehen (so ist die Gleichung zu lesen).
> -zweitens: Die EWe sind ja def. durch [mm]A*\vec{v}= \lambda*\vec{v};[/mm]
> ist das A jetzt die 3x3 Matrix oder die LinAbb. L?
hm - also man meint hier die MAtrix A nicht die Abbildung, aber auch für die Abbildung muss dann gelten [mm] $L(v)=\lambda [/mm] *v$
Deine Aufgabe besteht eigentlich darin geometrisch zu erkennen, was Eigenvektoren sind - dies sind nach der Formel gerade die Vektoren v, die NACH der Abbildung nur um ein Vielfaches geändert wurden (aber die Richtung bleibt gleich - evtl. bis auf Vorzeichen natürlich)
und du sollst dir jetzt solch eine Spiegelung und Drehung in 3D vorstellen und die Vektoren bestimmen, die sich im Grunde dabei nicht ändern (höchstens bis auf eine Skalierung)
versuchst du es nochmal?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:21 Sa 26.11.2005 | | Autor: | muhkuh |
hui =) das ging ja richtig schnell ! danke!
also...bei der Drehung werden doch eigentlich alle vektoren verändert, die sich nicht auf der Achse befinden und somit gedreht werden. Die Vektoren die auf der Achse liegen können ihre position/richtung ja nicht ändern, weil sie sich ja sozusagen um sich selbst drehen. War das richtig?
hmm...aber jetzt fällt mir noch was ein: Was ist mit Vektoren die parallel zu der Drehachse verlaufen? wenn man den Querschnitt betrachtet, würden die sich doch auf ner Kreisbahn um die Achse bewegen oder? die Richtung würde dann ja aber auch gleich bleiben. Z.B. wenn ich paralleler Vektor um 180° um die Achse gedreht wird, dann wird er ja gespiegelt an der Achse. Dadurch würde er die Richtung doch aber beibehalten ne?. Sind die EVen dann die Achse selbst + alle parallelen Vektoren?
Bei der Spiegelung wär das dann ja auch ähnlich dazu: alle Vektoren in der Ebene verändern ihre Richtung natürlich nicht, da sie ja an sich selbst gespiegelt werden. Und was ist mit parallelen Vektoren zur Ebene?
Dann wären Eigenvektoren doch alle orthogonalen Vektoren zum Nomalenvektor?
Wenn es demnach aber beliebig viele EVen gibt- existieren dann nicht auch unendlich viele EWe? also vermutlich ja nicht, aber damit komm ich irgendwie noch nicht so klar. wäre nett wenn du mir mit den EWen noch auf die Sprünge helfen könntest =)
danke nochmal!
stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mo 28.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Stefan!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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