Eigenwerte und Eigenvektoren < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 26.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
Hallo zusammen!
gehe z. zt die themen fürs mathe abitur durch. bin dabei auch auf "eigenwerte und eigenvektoren von matrizen" gestoßen...
bei der erklärung stellen sich mir ein paar fragen auf, da wir das thema auch noch nicht besprochen haben...
also, ich mache mal den anfang:
[mm] A*\vec{u} [/mm] = [mm] c*\vec{u} [/mm] wobei A eine matrix ist, und b eine zahl. der vektor u muss zudem ungleich dem nullvektor sein.
jetzt ist c der eigenwert und [mm] \vec{u} [/mm] der eigenvektor der matrix A...
hier komme ich dann nicht ganz weiter:
aus [mm] A*\vec{u} [/mm] = [mm] c*\vec{u} [/mm] folgt [mm] A*\vec{u} [/mm] = [mm] c*E*\vec{u}... [/mm] warum kann man hier den einheitsvektor (=E) zwischen schieben? weil sein betrag gleich 1 ist?
zudem verstehe ich nicht, wie man letztendlich diese gleichung zu der quadratischen gleichung:
[mm] (a_{1}-c)(b_{2}-c)-a_{2}*b_{1} [/mm] = O
umformen kann...
komme hier auch nach inet recherche nicht weiter.
außerdem schnall ich nicht, wofür man die eigenwerte und den eigenvektor anwenden kann.
bin für jede hilfe dankbar
gruß
JKS1988
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Di 26.02.2008 | | Autor: | DerVogel |
> außerdem schnall ich nicht, wofür man die eigenwerte und
> den eigenvektor anwenden kann.
>
Man kann z.B. mit Hilfe der Eigenvektoren und Eigenwerte Differentialgleichungssysteme lösen. Wenn z.B. das Gleichungssystem y'=Ay wenn A eine Matrix ist.
Mithilfe einer Fundamentallösung exp(xA) kann man dann die Differentialgleichung lösen. Das ist ein Anwendungsbereich dieser Theorie.
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Hallo JKS1988,
ich entnehme dem, was du schreibst, dass die MAtrix $A$, von der du schreibst, eine [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix ist und so aussieht: [mm] $A=\pmat{a_1&a_2\\b_1&b_2}$
[/mm]
Dementsprechend ist [mm] $\vec{u}=\vektor{u_1\\u_2}\neq\vektor{0\\0}$
[/mm]
Also ist [mm] $\mathbb{E}_2\cdot{}\vec{u}=\pmat{1&0\\0&1}\cdot{}\vektor{u_1\\u_2}=\vektor{u_1\\u_2}=\vec{u}$ [/mm] (nachrechnen, wenn du's nicht siehst)
Also kannst du die Einheitsmatrix dazwischenquetschen.
Dann hast du also [mm] $A\cdot{}\vec{u}=c\cdot{}\mathbb{E}_2\cdot{}\vec{u} \qquad [/mm] \ \ [mm] \mid -c\cdot{}\mathbb{E}_2\cdot{}\vec{u}$ [/mm] auf beiden Seiten:
[mm] $\Rightarrow A\cdot{}\vec{u}-c\cdot{}\mathbb{E}_2\cdot{}\vec{u}=\vec{0}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (A-c\cdot{}\mathbb{E}_2)\cdot{}\vec{u}=\vec{0}$
[/mm]
das ist nur ausgeklammert
Die ist ein homogenes LGS, die Matrix [mm] $A-c\cdot{}\mathbb{E}_2$ [/mm] sieht so aus:
[mm] $A-c\cdot{}\mathbb{E}_2=\pmat{a_1&a_2\\b_1&b_2}-\pmat{c&0\\0&c}=\pmat{a_1-c&a_2\\b_1&b_2-c}$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\vec{u}\neq\vec{0}$ [/mm] soll Lösung dieses homogenen LGS sein.
Ein homogenes LGS hat entweder die eindeutige Lösung [mm] $\vec{u}=\vec{0}$ [/mm] - die ist aber ausgeschlossen, da [mm] $\vec{u}$ [/mm] ja [mm] $\neq\vec{0}$ [/mm] ist.
Das hat man, wenn die Matrix [mm] $A-c\cdot{}\mathbb{E}_2=\pmat{a_1-c&a_2\\b_1&b_2-c}$ [/mm] invertierbar ist.
Dann kann man die obige Matrixgleichung [mm] $(A-c\cdot{}\mathbb{E}_2)\cdot{}\vec{u}=\vec{0}$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung von links mit der Inversen von [mm] $A-c\cdot{}\mathbb{E}_2$ [/mm] multiplizieren und bekommt [mm] $\vec{u}=\vec{0}$
[/mm]
ODER unendlich viele Lösungen.
In dem Falle ist die Matrix [mm] $A-c\cdot{}\mathbb{E}_2=\pmat{a_1-c&a_2\\b_1&b_2-c}$ [/mm] nicht invertierbar.
Nicht invertierbar bedeutet aber, dass die Determinante der Matrix =0 ist.
Und die ist genau [mm] $(a_1-c)\cdot{}(b_2-c)-a_2b_1$
[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir erst einmal ein wenig weiter
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 26.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
hi!
erstmal besten dank für eure antworten. besonders die antwort von schachuzipus hat mich weiter gebracht.
allerdings habe ich es noch nicht komplett verstanden.
wie ich auf [mm] \pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c } [/mm] und somit auf
[mm] \pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c } [/mm] * [mm] \vec{u} [/mm] = o komme, ist mir soweit klar geworden. mir ist auch bewusst, dass [mm] \pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c } [/mm] gleich 0 sein muss, damit die gleichung erfüllt ist, da [mm] \vec{u} [/mm] ja ungleich 0 definiert ist.
also muss [mm] \pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c } [/mm] gleich null sein, damit es sich bei c um den eigenwert handelt? wie forme ich das dann um? was hat es mit der determinate auf sich?(haben das thema noch nicht behandelt) und wie komme ich vom eigenwert auf den eigenvektor? indem ich das am anfang aufgestellte system umforme?
diese fragen habe ich noch zu dem thema...hab wenigstens die "basis" verstanden.
nochmal danke für die hilfe
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Hallo nochmal,
> hi!
> erstmal besten dank für eure antworten. besonders die
> antwort von schachuzipus hat mich weiter gebracht.
> allerdings habe ich es noch nicht komplett verstanden.
>
> wie ich auf [mm]\pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c }[/mm] und somit auf
> [mm]\pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c }[/mm] * [mm]\vec{u}[/mm] = o komme, ist
> mir soweit klar geworden.
mir nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Du hast durchgehend die Einträge [mm] a_2 [/mm] und [mm] b_1 [/mm] vertauscht !
> mir ist auch bewusst, dass [mm]\pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c }[/mm]
> gleich 0 sein muss, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]") damit die gleichung erfüllt ist, da
> [mm]\vec{u}[/mm] ja ungleich 0 definiert ist.
Nein, um Gottes Willen: Wir haben hier keine Multiplikation von reellen Zahlern, sondern von Matrizen !!
Gegenbsp. zu deiner Aussage [mm] $A=\pmat{2&1\\2&1}, \vec{v}=\vektor{-1\\2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $A\cdot{}\vec{v}=\vec{0}$, [/mm] aber WEDER [mm] $A=\mathbb{O}_2$ [/mm] NOCH [mm] $\vec{v}=\vec{0}$
[/mm]
> also muss [mm]\pmat{ a1-c & b1 \\ a2 & b2-c }[/mm] gleich null
> sein,
[mm] $\pmat{ a_1-c & a_2 \\ b_1 & b_2-c }$ [/mm] darf nicht invertierbar sein
> damit es sich bei c um den eigenwert handelt? wie
> forme ich das dann um? was hat es mit der determinate auf
> sich?(haben das thema noch nicht behandelt)
Hmm, alles steht und fällt mit dem Begriff "invertierbar" bzw. "nicht invertierbar"
Ohne zu wissen, was du weißt, ist es müßig zu spekulieren.
Wie habt ihr Invertierbarkeit bzw. Nicht-Invertierbarkeit definiert bzw. charakterisiert?
> und wie komme
> ich vom eigenwert auf den eigenvektor? indem ich das am
> anfang aufgestellte system umforme? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
genau, einer der unendlich vielen Lösungsvektoren [mm] \vec{u_0}\neq\vec{0} [/mm] des LGS [mm] $(A-c\cdot{}\mathbb{E})\vec{u}=\vec{0}$ [/mm] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert c
> diese fragen habe ich noch zu dem thema...hab wenigstens
> die "basis" verstanden.
>
> nochmal danke für die hilfe
Jo, kein Ding
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 26.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
uuups, hast recht. habs völlig verplant. ich weiß leider nicht wie man invertiertheit definiert...das haben wir im unterricht noch gar nicht behandelt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Di 26.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
eine quadratische nxn Matrix A heißt invertierbar, falls es eine Matrix B gibt, so dsas AB und BA die Einheitsmatrix erigbt.
Ist AB=1, so weißt du schon automatishc, dass BA=1 ist. Zu jeder invertiberaren Matrix gibt es höchstens eine Matrix B, so dass AB=BA=1.
Invertierbarkeit ist äquivalent mit [mm] det(A)\not=0, [/mm] wobei det(A) die Determinanten ist.
Dann weiß man auch noch, dass das äquvalent ist mit der Aussage "Der Rank der Matrix A ist gleich n"
Nun, das wichtigste, was man wissen sollte ist, dass es nicht zu jeder Matrix eine Inverse gibt. Wann das so ist und wann nicht, kann ich oder die anderen dir wohl am besten erklären, wenn du uns schon sagst, was du über Lineare Gleichungssysteme weist. Denn darüber kann man die Invertierbarkeit glaube ich am besten Erklären.
LG
Kroni
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