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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mo 22.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Guten Abend alle zusammen,
meine Frage ist, und zwar: Wenn ich nur eine dreifache Nullstelle im charakteristischen Polynom habe z.B. A=1, dann hab ich ja als Eigenwerte A1,2,3 = 1 . Meine Frage ist, wenn ich jetzt die Eigenvektoren berechne, indem ich A=1 auf der Hauptdiagonalen abziehe woher weiß ich dann, wie viele lin. unabhängige Vektoren ich als Eigenvektoren angeben muss. Eigentlich dachte ich ich muss 3 lin. unabhängige Eigenvektoren angeben. Jetzt bin ich aber auf eine Aufgabe gestoßen, in der ich auch eine dreifache Nullstelle hab aber ich irgendwie nicht drei lin. unabhängige Eigenvektoren angeben kann. Meine Matrix nach abiehen des Eigenwertes A=1 lautet:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
Vielen Dank im Vorraus
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Hallo wilmi,
> Guten Abend alle zusammen,
> meine Frage ist, und zwar: Wenn ich nur eine dreifache
> Nullstelle im charakteristischen Polynom habe z.B. A=1,
> dann hab ich ja als Eigenwerte A1,2,3 = 1 .
> Meine Frage
> ist, wenn ich jetzt die Eigenvektoren berechne, indem ich
> A=1 auf der Hauptdiagonalen abziehe woher weiß ich dann,
> wie viele lin. unabhängige Vektoren ich als Eigenvektoren
> angeben muss.
Was meinst du mit "angeben müssen"? Wo musst du denn deine Eigenvektoren angeben?
Wenn du den Eigenraum berechnest?
Zunächst einige Fakten:
Die algebraische Vielfachheit deines Eigenwerts "1" ist in diesem Fall ja 3, weil er dreifache Nullstelle des Polynoms ist. Der zugehörige Eigenraum kann dann entweder die Dimension 1,2 oder 3 haben.
Das bedeutet, zu dem Eigenwert kann es ein, zwei oder drei linear unabhängig Eigenvektoren geben. Es muss aber nicht zwangsweise drei oder zwei geben! Es kann auch nur einer sein.
Das weißt du aber nicht vorher, deswegen kommst du meist um das Berechnen der Eigenräume nicht drumherum.
> Eigentlich dachte ich ich muss 3 lin.
> unabhängige Eigenvektoren angeben. Jetzt bin ich aber auf
> eine Aufgabe gestoßen, in der ich auch eine dreifache
> Nullstelle hab aber ich irgendwie nicht drei lin.
> unabhängige Eigenvektoren angeben kann. Meine Matrix nach
> abiehen des Eigenwertes A=1 lautet:
>
> 0 1 0 0
> 0 0 1 0
> 0 0 0 0
Das ist jetzt schon die erweiterte Koeffizientenmatrix?
Dann ist die Dimension des Eigenraums nur 1, d.h. du findest nur einen linear unabhängigen Eigenvektor zu diesem Eigenwert.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mo 22.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Aso, danke. Das heißt, wenn in einer Aufgabe verlangt ist die Eigenwerte und Eigenvektoren zu einer Matrix anzugeben, hängt die Menge an Eigenvektoren nicht von der Vielfachheit der Nullstelle des charakteristischen Polynoms ab, sondern von der Dimension des zu dem Eigenwertes zugehörigen Eigenraumes?
Vielen Dank
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Hallo,
> Aso, danke. Das heißt, wenn in einer Aufgabe verlangt ist
> die Eigenwerte und Eigenvektoren zu einer Matrix anzugeben,
> hängt die Menge an Eigenvektoren nicht von der
> Vielfachheit der Nullstelle des charakteristischen Polynoms
> ab, sondern von der Dimension des zu dem Eigenwertes
> zugehörigen Eigenraumes?
"Menge an Eigenvektoren" ist nicht so schön, sag' lieber "Menge an linear unabhängigen Eigenvektoren" - Aber: Ja, so ist es.
Man nennt die Vielfachheit der Nullstelle des charakteristischen Polynoms "algebraische Vielfachheit" des Eigenwerts,
die Dimension der Eigenraums hingegen "![[]](/images/popup.gif) geometrische Vielfachheit".
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Mo 22.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Danke schön! Super erklärt!!
Schönen Abend noch
Gruß Wilmi
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