Eigenwerte und Eigenvektorren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der reellen Matrix
A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0} [/mm] |
Hallo zusammen,
Eigentlich hatte ich mit dieser Aufgabe keine Probleme:
Das charakteristische Polynom ist [mm] x^4-2x^3+2x-1
[/mm]
Und Eigenwerte sind: dreifach 1 und einfach -1
aber bei den Eigenvektoren gibts ein Problem:
Eigenvektor von -1 ist [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Aber als ich den Eigenraum von A zum Eigenwert 1 errechnet habe ergab sich folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 }
[/mm]
Ok, zwei Eigenvektoren sind klar:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Aber es müssten ja drei sein... normalerweise hätte ich gesagt Nullvektor, aber der ist ja per Definition kein Eigenvektor.
Bin mir mit meinen Rechnungen ziemlich sicher weil ich sie etwa fünfzehn mal überprüft habe... wäre klasse wenn mir jemand sagen könnte was ich nun machen muss.
mfG
Mathezwerg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 04.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathezwerg,
für den Eigenwert bei 1 hast Du ja schon die beiden Vektoren ausgerechnet, denn der Zusammenhang lautet
$$ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_4 [/mm] $$ und
$$ [mm] x_3 [/mm] = 0 [mm] \, [/mm] .$$
Für $ [mm] x_2 [/mm] $ lässt sich ein beliebiger Wert einsetzen, nenne wir ihn t, das gleiche gilt für $ [mm] x_1 [/mm] $, ich nenne ihn hier s.
Damit sieht ein Lösungsvektor folgendermaßen aus:
$$ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{s \\ t \\ 0 \\ s} \, [/mm] . $$
Oder etwas anders geschrieben:
$$ s [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $$
Jede Linearkombination aus diesen beiden Vektoren ist ein gültiger Eigenvektor.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 So 04.02.2007 | | Autor: | Mathezwerg |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort, hatte vergessen das es natürlich ganze Räume sind und nicht nur ein vektor pro wert (nicht lachen;))
mfG
Mathezwerg
|
|
|
|
