Eigenwerte von Endomorphismus < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Di 07.06.2005 | | Autor: | mariposa |
Hallo,
ich soll die Eigenwerte und einen zugehörigen Eigenvektor von zwei K-Vektorraums - Endomorphismen bestimmen,
1. F(p(x)):= X*D(p(x)
2. F(p(X)):= X²*D²(p(x))+X*D(p(X))
wobei D(X) die Ableitung ist.
So wie man normalerweise die Eigenwerte ausrechnet mit dem Charakteristischen Polynom und so, funktioniert das ja hier nicht so ohne weiteres, weil ich keine Matrix habe. Ich weiß zwar, dass man jede lineare Abbildung auch als Matrix darstellen kann, aber dazu braucht man doch eine Basis, oder?
Nun weiß ich nicht wie man auf die Basis geschweige denn die Matrix kommt.
Über die Definition, dass ein k [mm] \in [/mm] K ein Eigenwert von V ist, wenn es einen Vektor v [mm] \in [/mm] V gibt, mit F(v)=kv, bin ich zu dem Ergebnis gekommen, dass bei der ersten Abbildung alle n [mm] \in \IR [/mm] Eigenwert sind, denn [mm] F(X^{n})=nX^{n} [/mm] und bei der zweiten alle n [mm] \in \IR [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 0, denn [mm] F(X^{n})=n²X^{n}.
[/mm]
Allerdings erscheint mir diese Begründung zu trivial? Kann es sein, dass ich Eigenwerte übersehen habe, also kann auch ein Polynom oder so, also etwas, was nicht in [mm] \IR [/mm] liegt, ein Eigenwert sein?
Vielen Dank für eure Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
Achja, zweiter Teil der Aufgabe ist, die Eigenwerte für K= [mm] \IZ \setminus 5\IZ [/mm] zu berechnen. Damit habe ich mich noch gar nicht befasst, kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?
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Grüße!
Also zunächst mal arbeitest Du hier mit dem Polynomring [mm] $\IR[X]$ [/mm] - der hat als Basis einfach die Folgende Menge:
[mm] $\{1, X, X^2, X^3, \ldots \} [/mm] = [mm] \{ X^k : k \in \IN_0 \}$
[/mm]
Dass diese Menge eine Basis bildet ist leicht zu verifizieren - Es ist im Grunde die Definition des Polynomrings.
Jetzt hast Du ganz richtig bemerkt, dass für die erste Abbildung gilt: [mm] $F(X^n) [/mm] = n [mm] X^n$.
[/mm]
Also ist jedes $n$ Eigenwert - aber Achtung! Du hast geschrieben: jedes $n [mm] \in \IR$, [/mm] aber natürlich liegen im Polynomring nur [mm] $X^n$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN_0$!
[/mm]
Da jedes Basiselement Eigenvektor ist, bist Du fertig - Du hast schon eine Basis aus Eigenvektoren gefunden, mehr Eigenwerte kann es nicht geben.
Ebenso beim zweiten Teil - völlig richtig hast Du wieder berechnet, dass jedes Basiselement Eigenvektor ist. Die Menge der Eigenwerte ist hier [mm] $\{n^2 : n \in \IN_0 \}$ [/mm] also die Menge der natürlichen Quadratzahlen inklusive 0 (da der Vektor 1 ja im Kern liegt). Wieder müssen dies alle Eigenwerte sein, da Du eine Basis aus Eigenvektoren gefunden hast.
Im Allgemeinen ist der Fall auf unendlich-dimensionalen Vektorräumen nicht so klar, das stimmt - wenn man nicht gerade sofort eine Basis aus Eigenvektoren findet, muß man suchen und das charakteristische Polynom kann man nicht ohne weiteres bilden.
Aber zum Glück klappt es ja hier. 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 09.06.2005 | | Autor: | mariposa |
Wenn ich beides nun für [mm] \IZ/ 5\IZ [/mm] betrachte erhalte ich auf ähnlichem Wege wie vorher die Eigenwerte für a) 0,1,2,3,4 und für b) 0,1,4. Ist die Basis von dem Polynomring mit [mm] \IZ/5\IZ [/mm] als Körper auch [mm] {0,1,X,X^2,X^3 usw.}? [/mm] Dann habe ich ja zu jedem Eigenwert mehrere Basisvektoren, kann ich dann das Argument, dass es nicht mehr Eigenwerte geben kann, weil ich eine Basis aus Eigenvektoren habe, wieder verwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 09.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Wenn ich beides nun für [mm]\IZ/ 5\IZ[/mm] betrachte erhalte ich auf
> ähnlichem Wege wie vorher die Eigenwerte für a) 0,1,2,3,4
> und für b) 0,1,4.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist die Basis von dem Polynomring mit
> [mm]\IZ/5\IZ[/mm] als Körper auch [mm][mm] {0,1,X,X^2,X^3 usw.}?[/m]
[/mm]
Die $0$ gehört natürlich nicht dazu! Die gehörte aber auch schon vorher nicht dazu. Der Rest stimmt.
> Dann habe
> ich ja zu jedem Eigenwert mehrere Basisvektoren,
Richtig. Jeder Eigenraum ist unendlichdimensional!
> kann ich
> dann das Argument, dass es nicht mehr Eigenwerte geben
> kann, weil ich eine Basis aus Eigenvektoren habe, wieder
> verwenden?
Auf jeden Fall!
Viele Grüße
Stefan
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