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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Sa 12.12.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | A: D(A) [mm] \to C([a,b];\mathbb [/mm] R)
f [mm] \mapsto \frac{\partial^2}{\partial x^2}f
[/mm]
a<b
[mm] D(A)=\{f \in C^2([a,b];\mathbb R):f(a)=f(b)=0\}
[/mm]
Bestimme Eigenwerte und Eigenfunktionen. |
Hallo. ich sitze vor obiger Aufgabe und habe leider gar keine Ahnung, was ich machen soll.
Ich kann Eigenwerte nur von Matrizen bestimmen. Wie das hier geht weiß ich nicht... muss ich da erst eine Matrix aufstellen?
Der Ansatz Af= [mm] \lambda [/mm] f hilft mir auch nicht weiter.
Kann mir jemand sagen, wie ich vorgehen muss und mir evtl ein Skript oder Beispielaufgabe zeigen?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 12.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]A: D(A)\to C([a,b];\mathbb R)[/mm]
> [mm]f \mapsto \frac{\partial^2}{\partial x^2}f[/mm]
> [mm]a
> [mm]D(A)=\{f \in C^2([a,b];\mathbb R):f(a)=f(b)=0\}[/mm]
> Bestimme
> Eigenwerte und Eigenfunktionen.
> Hallo. ich sitze vor obiger Aufgabe und habe leider gar
> keine Ahnung, was ich machen soll.
> Ich kann Eigenwerte nur von Matrizen bestimmen. Wie das
> hier geht weiß ich nicht... muss ich da erst eine Matrix
> aufstellen?
> Der Ansatz [mm]Af= \lambda f[/mm] hilft mir auch nicht weiter.
Warum nicht? Hast du A hier eingesetzt, also
[mm] \frac{\partial^2}{\partial x^2}f =\lambda f [/mm], mit $f(a)=f(b)=0$, $a<b$.
Nun bestimme die Lösungen!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 12.12.2009 | | Autor: | moerni |
> > Der Ansatz [mm]Af= \lambda f[/mm] hilft mir auch nicht weiter.
>
> Warum nicht? Hast du A hier eingesetzt, also
>
> [mm]\frac{\partial^2}{\partial x^2}f =\lambda f [/mm], mit
> [mm]f(a)=f(b)=0[/mm], [mm]a
>
> Nun bestimme die Lösungen!
>
Danke erstmal für die rasche Antwort.
Der obige Ansatz hilft mir leider immernoch nicht weiter... Die Gleichung heißt in Worten doch: f zweimal partiell nach x abgeleitet ergibt lambda mal f, oder?
Eine konkrete Frage: Die Funktion f ist nur von einer Variablen x abhängig, oder? denn sie bildet ja von [a,b] nach R ab.
Wie kann es dann sein, dass eine Funktion zweimal abgeleitet ein Vielfaches der Funktion ergibt?
Außerdem: wie kann / muss ich die Randbedingung f(a)=f(b)=0 einbringen?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar, grüße moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> > > Der Ansatz [mm]Af= \lambda f[/mm] hilft mir auch nicht weiter.
> >
> > Warum nicht? Hast du A hier eingesetzt, also
> >
> > [mm]\frac{\partial^2}{\partial x^2}f =\lambda f [/mm], mit
> > [mm]f(a)=f(b)=0[/mm], [mm]a
> >
> > Nun bestimme die Lösungen!
> >
>
> Danke erstmal für die rasche Antwort.
> Der obige Ansatz hilft mir leider immernoch nicht weiter...
> Die Gleichung heißt in Worten doch: f zweimal partiell
> nach x abgeleitet ergibt lambda mal f, oder?
Ja, eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
> Eine konkrete Frage: Die Funktion f ist nur von einer
> Variablen x abhängig, oder? denn sie bildet ja von [a,b]
> nach R ab.
> Wie kann es dann sein, dass eine Funktion zweimal
> abgeleitet ein Vielfaches der Funktion ergibt?
Zum Beispiel jede Exponentialfunktion [mm] $e^{ax}$ [/mm] hat diese Eigenschaft.
> Außerdem: wie kann / muss ich die Randbedingung
> f(a)=f(b)=0 einbringen?
Bestimme die allgemeine Lösung der DGL und setze die Randbedingungen ein!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 13.12.2009 | | Autor: | moerni |
achso, jetzt wirds schon etwas klarer. Meine bisherigen Ansätze:
[mm] f''=\lambda [/mm] f
Transformation auf System 1.Ordnung ergibt
[mm] y'(x)=\pmat{ 0 & 1 \\ \lambda & 0 }y(x). [/mm] Eigenwerte sind [mm] \sqrt{\lambda} [/mm] und [mm] -\sqrt{\lambda}. [/mm] Die Lösung der Dgl ist dann [mm] f=a_1e^{\sqrt{\lambda}t}+a_2e^{-\sqrt{\lambda}t}, a_1,a_2 \in \mathbb [/mm] R.
Stimmt das soweit?
Die Eigenwerte hab ich damit also gefunden... ist das oben gefundene f dann die Eigenfunktion? und wie bringe ich noch die Bedingung f(a)=f(b)=0 ein?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> achso, jetzt wirds schon etwas klarer. Meine bisherigen
> Ansätze:
> [mm]f''=\lambda[/mm] f
> Transformation auf System 1.Ordnung ergibt
> [mm]y'(x)=\pmat{ 0 & 1 \\ \lambda & 0 }y(x).[/mm] Eigenwerte sind
> [mm]\sqrt{\lambda}[/mm] und [mm]-\sqrt{\lambda}.[/mm] Die Lösung der Dgl ist
> dann [mm]f=a_1e^{\sqrt{\lambda}t}+a_2e^{-\sqrt{\lambda}t}, a_1,a_2 \in \mathbb[/mm]
> R.
> Stimmt das soweit?
Etwas umständlich, aber fast OK. Für den Fall [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist die Lösung falsch, und für [mm] $\lambda [/mm] <0$ ungeschickt dargestellt. (Tipp: Moivre-Formel)
> Die Eigenwerte hab ich damit also gefunden... ist das oben
> gefundene f dann die Eigenfunktion? und wie bringe ich noch
> die Bedingung f(a)=f(b)=0 ein?
Damit bestimmst du [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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