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Forum "Uni-Analysis" - Ein Hauptideal / Integral
Ein Hauptideal / Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ein Hauptideal / Integral: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Sa 15.01.2005
Autor: freaKperfume

Hallo,

folgende Aufgabe:
Sei [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] glatt mit $f(0)=0$. Dann ist die durch $g(x) = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f'(xt) dt}$ definierte Funktion [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] auch glatt und erfüllt $f(x)=x [mm] \cdot [/mm] g(x)$ für alle reellen x und $g(0) = f'(0)$.

Nachdem ich mir die Aussagen an zwei Beispielen klar gemacht habe, grüble ich nun schon seit Stunden und komme auf keine Beweisidee. Meine bisherigen Überlegungen ergaben nur, dass folgendes gelten müsste:
[mm] $\integral_{0}^{1} [/mm] {f'(xt) dt} = [mm] \bruch{d}{dx} \integral_{0}^{1} {\bruch{f(xt)}{t} dt}$ [/mm]
Aber wenn ich damit schon auf der richtigen Spur sein sollte, sehe ich nicht, wie es nun weitergeht...

Achja, ich habe auch keine Ahnung, was ein Hauptideal ist (soll heißen, das war auch nicht Stoff der Vorlesung), das ist lediglich der Titel der Aufgabe. :)

Danke,
- Marcel

        
Bezug
Ein Hauptideal / Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Sa 15.01.2005
Autor: SEcki

Hallo,

> folgende Aufgabe:
>  Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] glatt mit [mm]f(0)=0[/mm]. Dann ist die durch
> [mm]g(x) = \integral_{0}^{1} {f'(xt) dt}[/mm] definierte Funktion
> [mm]g:\IR \to \IR[/mm] auch glatt und erfüllt [mm]f(x)=x \cdot g(x)[/mm] für
> alle reellen x und [mm]g(0) = f'(0)[/mm].

Reicht es hier nicht, einfach linear zu substituieren?

> Achja, ich habe auch keine Ahnung, was ein Hauptideal ist

Mich würde das in dem Zusammenhang auch interessieren ... den Begriff kenne ich nur aus der Algebra, und zwar bei Ringen.

SEcki

Bezug
                
Bezug
Ein Hauptideal / Integral: Lösungsvorschlag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Sa 15.01.2005
Autor: freaKperfume

Hallo,

irgendwie werde ich den Verdacht nicht los, ich habe die ganze Zeit zu kompliziert gedacht. :)

$ g(x) = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f'(xt) dt} $

Substitution: $z=xt [mm] \gdw t=\bruch{z}{x} \Rightarrow dt=\bruch{dz}{x}$ [/mm]
Damit wäre $ g(x) = [mm] \integral_{0}^{x} {\bruch{f'(z)}{x} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \cdot \integral_{0}^{x} [/mm] {f'(z) dz} = [mm] \bruch{1}{x} \cdot \left(f(x)-f(0)\right) [/mm] = [mm] \bruch{f(x)}{x}$ [/mm]

Und ähnlich einfach $ g(0) = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f'(0) dt} = 1 [mm] \cdot [/mm] f'(0) - 0 [mm] \cdot [/mm] f'(0) = f'(0)$, da f'(0) in dem Integral ja bloß eine Konstante ist.

Geht das tatsächlich so einfach?! Und wenn ja: Wieso sehe ich das nicht gleich? :o)

- Marcel

Bezug
                        
Bezug
Ein Hauptideal / Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 So 16.01.2005
Autor: SEcki

Hallo,

> Geht das tatsächlich so einfach?! Und wenn ja: Wieso sehe
> ich das nicht gleich? :o)

Bis dahin schon. :-) Die Funktionalgleichung fällt somit ja auch ab. Was wohl bleibt: zeigen, daß die Funktion auch in 0 [mm]\cal{C}^{\infty}[/mm] ist. Aber das kriegst bestimmt hin. :-)

SEcki

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