Ein lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo
ich habe folges Lineares Gleichungsystem zu lösen, komme aber nicht weiter
Die Aufgabe
1x+2y+1z+2w=2
-1x-1y-3z-1w=1
3x+7y+1z+7w=9
2x+4y+2z+4w=4
hab ich das erstmal so aufgeschrieben
Damit habe ich dan einfacher rechnen können
1. Ich habe 1. Zeile mit 2. Zeile addiert
sieht so aus
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[mm] \begin{matrix}
1 & 2 & 1 & 2 & = 2 \\
0 & 1 & -2& 1 & = 3 \\
3 & 7 & 1 & 7 & = 9 \\
2 & 4 & 2 & 4 & = 4
\end{matrix}
[/mm]
-------------
2. Ich habe -(3)*1.Zeile subrahiert von 3. Zeile
Das sieht folgendermaßen aus
-------------
[mm] \begin{matrix}
1 & 2 & 1 & 2 & = 2 \\
0 & 1 & -2 & 1 & = 3 \\
0 & -1 & 2 & -1 & = -3 \\
2 & 4 & 2 & 4 & = 4
\end{matrix}
[/mm]
-------------
3. Habe ich 2* 1.Zeile subrahiert von 4. Zeile
Das kommt das dabei raus.
-------------
[mm] \begin{matrix}
1 & 2 & 1 & 2 & = 2 \\
0 & 1 & -2 & 1 & = 3 \\
0 & -1 & 2 & -1 & = -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & = 0
\end{matrix}
[/mm]
-------------
4. Habe ich 2.Zeile zur 3. Zeile addiert.
Das brachte folgende Lösung
-------------
[mm] \begin{matrix}
1 & 2 & 1 & 2 & = 2 \\
0 & 1 & -2 & 1 & = 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & = 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & = 0
\end{matrix}
[/mm]
-------------
Jetzt sehe ich, das die beiden letzten Zeilen 0 sind, in der Prüfung war ich auch soweit und habe auch dafür einen Punkt bekommen. Es hätten Aber 5 sein können. Darum muss ich dasfür die Nachprpfung bringen.
Wie geht es weiter? Wäre echt nett könnte mir das jemand erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Amarradi!
Das sieht doch schonmal gut aus, aber am Ende fehlt die letzte Konsequenz, um das Problem tatsächlich zu lösen. Alle deine Schritte waren aber korrekt und zeigen, dass du verstanden hast, was zu tun ist. So geht es nun zu Ende:
$ [mm] \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 & = 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & = 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & = 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & = 0 \end{matrix} [/mm] $
Du musst von der ersten Zeile noch zwei Mal die zweite abziehen, um an der Stelle $(0,1)$ eine Null zu erhalten:
$ [mm] \begin{matrix} 1 & 0 & 5 & 0 & = -4 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & = 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & = 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & = 0 \end{matrix} [/mm] $
So, und da steht es auch schon: die Unbekannten $z,w$ darfst du beliebig setzen, die weiteren Unbekannten $x,y$ folgen aus ihnen. Schreibst du diese Matrix wieder in einem Gleichungssystem aus, erhältst du nämlich
[mm] $x+5z=-4\gdw [/mm] x=-5z-4$
[mm] $y-2z+w=3\gdw [/mm] y=3+2z-w$
Die Lösungsmenge des Gleichungssystemes lautet also [mm] $\left\{ (-5z-4,3+2z-w,z,w)\in\IR^4| z,w\in \IR\right\}$. [/mm] Das kannst du auch noch in Form einer Nebenklasse des Lösungsraumes des homogenen Gleichungssystemes schreiben - damit erhältst du auch eine Form, die der Parameterdarstellung einer Ebene ähnelt:
Für das homogene Gleichungssystem fallen die Restglieder $-4$ und $3$ weg (mehr ist es nicht, da deine Zeilenumformungen die gleichen bleiben, jedoch rechts vom Gleichheitszeichen immer Null steht, du dich also nicht um die Restglieder zu kümmern brauchst) und du erhältst den Lösungsraum [mm] $L_0:=\left\{ (-5z,2z-w,z,w)\in \IR^4|z,w\in \IR\right\}=\langle (-5,2,1,0)\rangle+\langle (0,-1,0,1)\rangle$. [/mm] Die Lösungsmenge des ursprünglichen Gleichungssystemes ist nun eine Nebenklasse dieses Unterraumes des [mm] $\IR^4$: [/mm] sie hat die Form [mm] $L=l_s+L_0$, [/mm] wobei [mm] $l_s$ [/mm] eine spezielle Lösung des inhomogenen Systemes ist. Eine solche Lösung ist schnell gefunden: so erfüllt beispielsweise $(1,0,-1,1)$ das inhomogene System. Somit folgt:
[mm] $L=(1,0,-1,1)+\langle (-5,2,1,0)\rangle+\langle (0,-1,0,1)\rangle$
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Amarradi |
Bis hier her hab ich das alles verstanden, mit der frei wählbaren variablen und auch das 'neue' Gleichungssystem erscheint mir logisch nachvollziehbar.
Auch das ich die Restglieder weglassen kann ist mir klar, die Lösungsmenge aufstellen ist auch klar.
Doch du schreibst das sie ein Unterraum ist und solch eine Lösung schnellgefunden sei. Wie machst du das. Kann man das aus dem Gls. ablesen?
> Für das homogene Gleichungssystem fallen die Restglieder [mm]-4[/mm]
> und [mm]3[/mm] weg (mehr ist es nicht, da deine Zeilenumformungen
> die gleichen bleiben, jedoch rechts vom Gleichheitszeichen
> immer Null steht, du dich also nicht um die Restglieder zu
> kümmern brauchst) und du erhältst den Lösungsraum
> [mm]L_0:=\left\{ (-5z,2z-w,z,w)\in \IR^4|z,w\in \IR\right\}=\langle (-5,2,1,0)\rangle+\langle (0,-1,0,1)\rangle[/mm].
> Die Lösungsmenge des ursprünglichen Gleichungssystemes ist
> nun eine Nebenklasse dieses Unterraumes des [mm]\IR^4[/mm]: sie hat
> die Form [mm]L=l_s+L_0[/mm], wobei [mm]l_s[/mm] eine spezielle Lösung des
> inhomogenen Systemes ist. Eine solche Lösung ist schnell
> gefunden: so erfüllt beispielsweise [mm](1,0,-1,1)[/mm] das
> inhomogene System. Somit folgt:
>
> [mm]L=(1,0,-1,1)+\langle (-5,2,1,0)\rangle+\langle (0,-1,0,1)\rangle[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Amarradi!
Ich darf die Variablen $z$ und $w$ frei setzen und erhalte aus ihnen $x$ und $y$. Durch Hinschauen (ich beziehe mich auf die letzte Matrix der Zeilenumformungen bzw. das umgeformte Gleichungssystem) und geschicktes Setzen gelangt man dann zu solche einer einfachen Lösung.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Amarradi |
wenn ich das mal in die letzte matrix einsetze
5*(-1)+1=-4
-2*(-1)+1=3
würde ich sagen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Amarradi!
Eben, und daher stimmt es ja auch. Ist noch irgendetwas unklar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Amarradi |
Verstanden :)
Nein jetzt ist alles klar soweit,
unklar wäre noch die Ralativitätstheorie von A. Einstein wenn du...
nein kleiner Scherz.
Danke fürs erklären
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