Einbettung, Isomorphismen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 05.12.2013 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | 1a) Geben Sie zu +Z und *Z je eine nicht triviale, abgeschlossene Teilmenge von [mm] \IZ [/mm] an.
b) Untersuchen Sie zwei der nachfolgenden vier Teilfragen: Wie sieht die Menge der Einbettungen von (1) [mm] (\IZ, [/mm] +Z) in [mm] (\IZ, [/mm] +Z) (2) [mm] (\IN,*) [/mm] in [mm] (\IN,*) [/mm] (3) [mm] (\IZ,+Z) [/mm] in [mm] (\IN,+) [/mm] (4) [mm] (\IN,+) [/mm] in [mm] (\IN,*) [/mm] aus?
c) Welche der von Ihnen genannten Einbettungen sind Isomorphismen? |
Hallo zusammen,
Also ich habe relativ große Schwierigkeiten überhaupt zu erfassen, was genau ich tun muss bei dieser Aufgabe. Bin für jede Anregung sehr dankbar.
Zu a) habe ich gedacht, dass die Teilmenge eigentlich nur N sein kann, oder? Also wir haben das wie folge definiert: Sei (G,x) Verknüpfungsgebilde. Eine M [mm] \subseteq [/mm] G heißt bzgl. x abgeschlossen gdw. a,b [mm] \in [/mm] M -> axb [mm] \in [/mm] M. Das heißt ja dann soviel wie: (zu +Z) wenn a und b in der Teilmenge enthalten sind, so muss auch deren Summe enthalten sein. Deshalb muss die Teilmenge unendlich sein, da ja wenn die Summe enthalten ist auch wieder die Summe aus ebendieser und einer belibigen Zahl der Teilmenge enthalten sein muss. Das gilt nur für N. Richtig?
Zu b) Hier weiß ich nich genau was gemeint ist. Definiert habe wir Einbettung wie folgt: "Seien (G,X),(G,x) Verknüpfungsgebilde. f: G->G heißt Einbettung von (G,X)in(G,x) genau dann wenn f ist injektiv und für alle a,b [mm] \in [/mm] G f(aXb)=f(a)x f(b)."
Gruß
Anni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 05.12.2013 | | Autor: | hippias |
> 1a) Geben Sie zu +Z und *Z je eine nicht triviale,
> abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] an.
> b) Untersuchen Sie zwei der nachfolgenden vier Teilfragen:
> Wie sieht die Menge der Einbettungen von (1) [mm](\IZ,[/mm] +Z) in
> [mm](\IZ,[/mm] +Z) (2) [mm](\IN,*)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] (3) [mm](\IZ,+Z)[/mm] in [mm](\IN,+)[/mm]
> (4) [mm](\IN,+)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] aus?
> c) Welche der von Ihnen genannten Einbettungen sind
> Isomorphismen?
> Hallo zusammen,
>
> Also ich habe relativ große Schwierigkeiten überhaupt zu
> erfassen, was genau ich tun muss bei dieser Aufgabe. Bin
> für jede Anregung sehr dankbar.
> Zu a) habe ich gedacht, dass die Teilmenge eigentlich nur N
> sein kann, oder? Also wir haben das wie folge definiert:
> Sei (G,x) Verknüpfungsgebilde. Eine M [mm]\subseteq[/mm] G heißt
> bzgl. x abgeschlossen gdw. a,b [mm]\in[/mm] M -> axb [mm]\in[/mm] M. Das
> heißt ja dann soviel wie: (zu +Z) wenn a und b in der
> Teilmenge enthalten sind, so muss auch deren Summe
> enthalten sein. Deshalb muss die Teilmenge unendlich sein,
> da ja wenn die Summe enthalten ist auch wieder die Summe
> aus ebendieser und einer belibigen Zahl der Teilmenge
> enthalten sein muss. Das gilt nur für N. Richtig?
Richtig ist, dass [mm] $\IN$ [/mm] eine nichttriviale additiv abgeschlossene Teilmenge von [mm] $\IZ$ [/mm] ist; damit hast Du einen Teil der Aufgabe richtig geloest.
Nicht richtig ist, dass [mm] $\IN$ [/mm] die einzige solche Menge ist; noch muss die Menge endlich sein: es gibt auch ein einelementiges Beispiel und viele unendliche.
>
> Zu b) Hier weiß ich nich genau was gemeint ist. Definiert
> habe wir Einbettung wie folgt: "Seien (G,X),(G,x)
> Verknüpfungsgebilde. f: G->G heißt Einbettung von
> (G,X)in(G,x) genau dann wenn f ist injektiv und für alle
> a,b [mm]\in[/mm] G f(aXb)=f(a)x f(b)."
Du sollst Dir ueberlegen, welche Einebettungen jeweils moeglich sind. Beispielsweise ist [mm] $z\mapsto [/mm] 3z$ eine Einbettung von [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] nach [mm] $(\IZ,+)$. [/mm] Welche Moeglichkeiten gibt es noch? Oder: Wenn bei euch $0$ keine natuerliche Zahl ist, dann gibt es keine Einbettung von [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] nach [mm] $(\IN,+)$...
[/mm]
>
> Gruß
>
> Anni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 05.12.2013 | | Autor: | Catman |
> > 1a) Geben Sie zu +Z und *Z je eine nicht triviale,
> > abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] an.
> > b) Untersuchen Sie zwei der nachfolgenden vier
> Teilfragen:
> > Wie sieht die Menge der Einbettungen von (1) [mm](\IZ,[/mm] +Z) in
> > [mm](\IZ,[/mm] +Z) (2) [mm](\IN,*)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] (3) [mm](\IZ,+Z)[/mm] in [mm](\IN,+)[/mm]
> > (4) [mm](\IN,+)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] aus?
> > c) Welche der von Ihnen genannten Einbettungen sind
> > Isomorphismen?
> > Hallo zusammen,
> >
> > Also ich habe relativ große Schwierigkeiten überhaupt zu
> > erfassen, was genau ich tun muss bei dieser Aufgabe. Bin
> > für jede Anregung sehr dankbar.
> > Zu a) habe ich gedacht, dass die Teilmenge eigentlich nur N
> > sein kann, oder? Also wir haben das wie folge definiert:
> > Sei (G,x) Verknüpfungsgebilde. Eine M [mm]\subseteq[/mm] G heißt
> > bzgl. x abgeschlossen gdw. a,b [mm]\in[/mm] M -> axb [mm]\in[/mm] M. Das
> > heißt ja dann soviel wie: (zu +Z) wenn a und b in der
> > Teilmenge enthalten sind, so muss auch deren Summe
> > enthalten sein. Deshalb muss die Teilmenge unendlich sein,
> > da ja wenn die Summe enthalten ist auch wieder die Summe
> > aus ebendieser und einer belibigen Zahl der Teilmenge
> > enthalten sein muss. Das gilt nur für N. Richtig?
> Richtig ist, dass [mm]\IN[/mm] eine nichttriviale additiv
> abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] ist; damit hast Du einen
> Teil der Aufgabe richtig geloest.
> Nicht richtig ist, dass [mm]\IN[/mm] die einzige solche Menge ist;
> noch muss die Menge endlich sein: es gibt auch ein
> einelementiges Beispiel und viele unendliche.
Erstmal vielen Dank für die Antwort. Also wäre die Aufgabe an sich mit N als Teilmenge von Z gelöst, da ja nur nach einer nicht trivialen, abgeschlossenen Teilmenge von Z gefragt wird, oder? Oder ist N als Teilmenge für *Z nicht abgeschlossen?
Das einelementige Beispiel ist dann wohl die {0}. Sehe ich das richtig, dass andere Teilmengen beispielsweise Mengen wie {2,4,6....}, {3,6,9} etc. wären?
>
> >
> > Zu b) Hier weiß ich nich genau was gemeint ist. Definiert
> > habe wir Einbettung wie folgt: "Seien (G,X),(G,x)
> > Verknüpfungsgebilde. f: G->G heißt Einbettung von
> > (G,X)in(G,x) genau dann wenn f ist injektiv und für alle
> > a,b [mm]\in[/mm] G f(aXb)=f(a)x f(b)."
> Du sollst Dir ueberlegen, welche Einebettungen jeweils
> moeglich sind. Beispielsweise ist [mm]z\mapsto 3z[/mm] eine
> Einbettung von [mm](\IZ,+)[/mm] nach [mm](\IZ,+)[/mm]. Welche Moeglichkeiten
> gibt es noch? Oder: Wenn bei euch [mm]0[/mm] keine natuerliche Zahl
> ist, dann gibt es keine Einbettung von [mm](\IZ,+)[/mm] nach
> [mm](\IN,+)[/mm]...
> >
Das mit der Einbettung ist mir leider immer noch nicht ganz klar. N haben wir einschließlich der 0 definiert. Wären alle möglichen Einbettungen von Z,+ zu Z,+ dann {f(a)|f(a+b)=f(a)+f(b)} ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 06.12.2013 | | Autor: | hippias |
> > > 1a) Geben Sie zu +Z und *Z je eine nicht triviale,
> > > abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] an.
> > > b) Untersuchen Sie zwei der nachfolgenden vier
> > Teilfragen:
> > > Wie sieht die Menge der Einbettungen von (1) [mm](\IZ,[/mm] +Z) in
> > > [mm](\IZ,[/mm] +Z) (2) [mm](\IN,*)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] (3) [mm](\IZ,+Z)[/mm] in [mm](\IN,+)[/mm]
> > > (4) [mm](\IN,+)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] aus?
> > > c) Welche der von Ihnen genannten Einbettungen sind
> > > Isomorphismen?
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > Also ich habe relativ große Schwierigkeiten überhaupt zu
> > > erfassen, was genau ich tun muss bei dieser Aufgabe. Bin
> > > für jede Anregung sehr dankbar.
> > > Zu a) habe ich gedacht, dass die Teilmenge eigentlich nur N
> > > sein kann, oder? Also wir haben das wie folge definiert:
> > > Sei (G,x) Verknüpfungsgebilde. Eine M [mm]\subseteq[/mm] G heißt
> > > bzgl. x abgeschlossen gdw. a,b [mm]\in[/mm] M -> axb [mm]\in[/mm] M. Das
> > > heißt ja dann soviel wie: (zu +Z) wenn a und b in der
> > > Teilmenge enthalten sind, so muss auch deren Summe
> > > enthalten sein. Deshalb muss die Teilmenge unendlich sein,
> > > da ja wenn die Summe enthalten ist auch wieder die Summe
> > > aus ebendieser und einer belibigen Zahl der Teilmenge
> > > enthalten sein muss. Das gilt nur für N. Richtig?
> > Richtig ist, dass [mm]\IN[/mm] eine nichttriviale additiv
> > abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] ist; damit hast Du einen
> > Teil der Aufgabe richtig geloest.
> > Nicht richtig ist, dass [mm]\IN[/mm] die einzige solche Menge
> ist;
> > noch muss die Menge endlich sein: es gibt auch ein
> > einelementiges Beispiel und viele unendliche.
>
> Erstmal vielen Dank für die Antwort. Also wäre die
> Aufgabe an sich mit N als Teilmenge von Z gelöst, da ja
> nur nach einer nicht trivialen, abgeschlossenen Teilmenge
> von Z gefragt wird, oder?
Richtig.
> Oder ist N als Teilmenge für *Z
> nicht abgeschlossen?
Was meinst Du? 
> Das einelementige Beispiel ist dann wohl die {0}.
Ja.
> Sehe ich
> das richtig, dass andere Teilmengen beispielsweise Mengen
> wie {2,4,6....}, {3,6,9} etc. wären?
Kommt drauf an, was Du mit diesen Mengen meinst; die zweite Menge ist auf jeden Fall nicht additiv abgeschlossen, da sie $15= 6+9$ nicht enthaelt. Ich schaetze Du meinst mit der ersten Menge die Menge aller geraden Zahlen. Diese Menge ist additiv abgeschlossen.
> >
> > >
> > > Zu b) Hier weiß ich nich genau was gemeint ist. Definiert
> > > habe wir Einbettung wie folgt: "Seien (G,X),(G,x)
> > > Verknüpfungsgebilde. f: G->G heißt Einbettung von
> > > (G,X)in(G,x) genau dann wenn f ist injektiv und für alle
> > > a,b [mm]\in[/mm] G f(aXb)=f(a)x f(b)."
> > Du sollst Dir ueberlegen, welche Einebettungen jeweils
> > moeglich sind. Beispielsweise ist [mm]z\mapsto 3z[/mm] eine
> > Einbettung von [mm](\IZ,+)[/mm] nach [mm](\IZ,+)[/mm]. Welche Moeglichkeiten
> > gibt es noch? Oder: Wenn bei euch [mm]0[/mm] keine natuerliche Zahl
> > ist, dann gibt es keine Einbettung von [mm](\IZ,+)[/mm] nach
> > [mm](\IN,+)[/mm]...
> > >
>
> Das mit der Einbettung ist mir leider immer noch nicht ganz
> klar. N haben wir einschließlich der 0 definiert.
Da hatte ich einen kleinen Denkfehler: auch wenn [mm] $0\in \IN$ [/mm] ist, gibt es keine Einbettung von [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] in [mm] $(\IN, [/mm] +)$.
> Wären
> alle möglichen Einbettungen von Z,+ zu Z,+ dann
> {f(a)|f(a+b)=f(a)+f(b)} ?
Schreibe besser [mm] $\{f|\forall a,b\in \IZ f(a+b)=f(a)+f(b)\}$, [/mm] da $f(a)$ eine ganze Zahl bezeichnet, naemlich das Bild von $a$ unter der Abbildung $f$, aber $f$ die Einbettung ist. Ferner musst Du ja auch noch die Injektivitaet beruecksichtigen, also [mm] $\{f:\IZ\to \IZ| \mbox{$f$ injektiv und }\forall a,b\in \IZ f(a+b)=f(a)+f(b)\}$.
[/mm]
Du sollst diese Menge aber naeher beschreiben. Ich habe Dir ein Beispiel fuer eine Einbettung gegeben. Ist Dir klar, dass es eine Einbettung ist? Kannst Du weitere Beispiele fuer Einbettungen nennen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Catman |
> > > > 1a) Geben Sie zu +Z und *Z je eine nicht triviale,
> > > > abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] an.
> > > > b) Untersuchen Sie zwei der nachfolgenden vier
> > > Teilfragen:
> > > > Wie sieht die Menge der Einbettungen von (1) [mm](\IZ,[/mm] +Z) in
> > > > [mm](\IZ,[/mm] +Z) (2) [mm](\IN,*)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] (3) [mm](\IZ,+Z)[/mm] in [mm](\IN,+)[/mm]
> > > > (4) [mm](\IN,+)[/mm] in [mm](\IN,*)[/mm] aus?
> > > > c) Welche der von Ihnen genannten Einbettungen
> sind
> > > > Isomorphismen?
> > > > Hallo zusammen,
> > > >
> > > > Also ich habe relativ große Schwierigkeiten überhaupt zu
> > > > erfassen, was genau ich tun muss bei dieser Aufgabe. Bin
> > > > für jede Anregung sehr dankbar.
> > > > Zu a) habe ich gedacht, dass die Teilmenge eigentlich nur N
> > > > sein kann, oder? Also wir haben das wie folge definiert:
> > > > Sei (G,x) Verknüpfungsgebilde. Eine M [mm]\subseteq[/mm] G heißt
> > > > bzgl. x abgeschlossen gdw. a,b [mm]\in[/mm] M -> axb [mm]\in[/mm] M. Das
> > > > heißt ja dann soviel wie: (zu +Z) wenn a und b in der
> > > > Teilmenge enthalten sind, so muss auch deren Summe
> > > > enthalten sein. Deshalb muss die Teilmenge unendlich sein,
> > > > da ja wenn die Summe enthalten ist auch wieder die Summe
> > > > aus ebendieser und einer belibigen Zahl der Teilmenge
> > > > enthalten sein muss. Das gilt nur für N. Richtig?
> > > Richtig ist, dass [mm]\IN[/mm] eine nichttriviale additiv
> > > abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] ist; damit hast Du einen
> > > Teil der Aufgabe richtig geloest.
> > > Nicht richtig ist, dass [mm]\IN[/mm] die einzige solche Menge
> > ist;
> > > noch muss die Menge endlich sein: es gibt auch ein
> > > einelementiges Beispiel und viele unendliche.
> >
> > Erstmal vielen Dank für die Antwort. Also wäre die
> > Aufgabe an sich mit N als Teilmenge von Z gelöst, da ja
> > nur nach einer nicht trivialen, abgeschlossenen Teilmenge
> > von Z gefragt wird, oder?
> Richtig.
>
> > Oder ist N als Teilmenge für *Z
> > nicht abgeschlossen?
> Was meinst Du?
> > Das einelementige Beispiel ist dann wohl die {0}.
> Ja.
>
> > Sehe ich
> > das richtig, dass andere Teilmengen beispielsweise Mengen
> > wie {2,4,6....}, {3,6,9} etc. wären?
> Kommt drauf an, was Du mit diesen Mengen meinst; die zweite
> Menge ist auf jeden Fall nicht additiv abgeschlossen, da
> sie [mm]15= 6+9[/mm] nicht enthaelt. Ich schaetze Du meinst mit der
> ersten Menge die Menge aller geraden Zahlen. Diese Menge
> ist additiv abgeschlossen.
> > >
> > > >
> > > > Zu b) Hier weiß ich nich genau was gemeint ist. Definiert
> > > > habe wir Einbettung wie folgt: "Seien (G,X),(G,x)
> > > > Verknüpfungsgebilde. f: G->G heißt Einbettung von
> > > > (G,X)in(G,x) genau dann wenn f ist injektiv und für alle
> > > > a,b [mm]\in[/mm] G f(aXb)=f(a)x f(b)."
> > > Du sollst Dir ueberlegen, welche Einebettungen
> jeweils
> > > moeglich sind. Beispielsweise ist [mm]z\mapsto 3z[/mm] eine
> > > Einbettung von [mm](\IZ,+)[/mm] nach [mm](\IZ,+)[/mm]. Welche Moeglichkeiten
> > > gibt es noch? Oder: Wenn bei euch [mm]0[/mm] keine natuerliche Zahl
> > > ist, dann gibt es keine Einbettung von [mm](\IZ,+)[/mm] nach
> > > [mm](\IN,+)[/mm]...
> > > >
> >
> > Das mit der Einbettung ist mir leider immer noch nicht ganz
> > klar. N haben wir einschließlich der 0 definiert.
> Da hatte ich einen kleinen Denkfehler: auch wenn [mm]0\in \IN[/mm]
> ist, gibt es keine Einbettung von [mm](\IZ,+)[/mm] in [mm](\IN, +)[/mm].
> >
> Wären
> > alle möglichen Einbettungen von Z,+ zu Z,+ dann
> > {f(a)|f(a+b)=f(a)+f(b)} ?
> Schreibe besser [mm]\{f|\forall a,b\in \IZ f(a+b)=f(a)+f(b)\}[/mm],
> da [mm]f(a)[/mm] eine ganze Zahl bezeichnet, naemlich das Bild von [mm]a[/mm]
> unter der Abbildung [mm]f[/mm], aber [mm]f[/mm] die Einbettung ist. Ferner
> musst Du ja auch noch die Injektivitaet beruecksichtigen,
> also [mm]\{f:\IZ\to \IZ| \mbox{[/mm]f[mm] injektiv und }\forall a,b\in \IZ f(a+b)=f(a)+f(b)\}[/mm].
>
> Du sollst diese Menge aber naeher beschreiben. Ich habe Dir
> ein Beispiel fuer eine Einbettung gegeben. Ist Dir klar,
> dass es eine Einbettung ist? Kannst Du weitere Beispiele
> fuer Einbettungen nennen?
Dein Beispiel war ja z [mm] \mapsto [/mm] 3z. Ich denke es ist eine Einbettung, weil erstens die Funktion injektiv ist, also für jedes Element genau ein anderes zugeordnet werden kann. Desweiteren ist f(a+b)=f(a)+f(b), da 3(a+b)=3a+3b gilt. Im Grunde wäre also jeder Faktor vor dem z denkbar, oder?
Gibt es keine Einbettung von (Z,+) nach (N,+), weil man negative Zahlen nicht auf N abbilden kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Fr 06.12.2013 | | Autor: | hippias |
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> Dein Beispiel war ja z [mm]\mapsto[/mm] 3z. Ich denke es ist eine
> Einbettung, weil erstens die Funktion injektiv ist, also
> für jedes Element genau ein anderes zugeordnet werden
> kann. Desweiteren ist f(a+b)=f(a)+f(b), da 3(a+b)=3a+3b
> gilt. Im Grunde wäre also jeder Faktor vor dem z denkbar,
> oder?
Ja. Oder fast jeder bis auf einer. Aber das ist jedenfalls eine sehr brauchbare Vermutung. Versuche also zu beweisen, dass jede Einbettung [mm] $:(\IZ,+)\to (\IZ,+)$ [/mm] von der Gestalt [mm] $z\mapsto [/mm] qz$ ist, wobei [mm] $q\in \IZ$ [/mm] bis auf [mm] $\ldots$. [/mm] Dass jede solche Abbildung eine Einbettung liefert, ist Dir ja bereits klar.
Fuer die Umkehrung beachte, dass $f(2)= f(1+1)= f(1)+f(1)= 2f(1)$, [mm] $f(3)=\ldots [/mm] = 3f(1)$ etc. Damit kannst Du Dir ueberlegen, woher der Faktor $q$ kommt.
>
> Gibt es keine Einbettung von (Z,+) nach (N,+), weil man
> negative Zahlen nicht auf N abbilden kann?
Man kann ohne Probleme negative Zahlen in die Menge der natuerlichen Zahlen abbilden (z.B. [mm] $z\mapsto z^{2}$). [/mm] Was hier nicht zusammenpasst, ist die Homomorphieeigenschaft der Abbildung und die Injektivitaet. Du koenntest versuchen so aehnlich zu schliessen, wie in dem obigen Fall.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Catman |
Herzlichen Dank. Ich denke ich komme jetzt erstmal klar mit der Aufgabe.
Gruß
Anni
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