Eindeutige Sylowuntergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 So 09.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Gruppeder Ordnung 56 eine eindeutige 2-Sylowuntergruppe oder eine eindeutige 7-Sylowuntergruppe besitzt. |
Hallo Leute,
ich weiß nicht so ganz, was bei obiger Aufgabe gefordert ist. Also ich habe mir bisher überlegt:
56 = [mm] 2^3 [/mm] * 7
Für die 7-Sylow-UG gilt:
- S7 = 1 mod 7, d.h. S7 [mm] \in [/mm] {1,8,15,...}
- S7 teilt 8
=> Es existiert eine Sylowuntergruppe der Ordnung 7 mit 1*6 = 6 Elementen oder es existieren 8 Sylowuntergruppen der Ordnung 7 mit 8*6 = 48 Elementen
Für die 2-Sylow-UG gilt:
- S2 = 1 mod 2, d.h. S2 [mm] \in [/mm] {1,3,5,7,....}
- S2 teilt 7
=> Es existiert eine Sylowuntergruppe der Ordnung 2 mit 2 Element oder es existieren 7 Sylowuntergruppen er Ordnung 2 mit 7*1 = 7 Elementen.
Stimmt das bisher? Und wie muss ich nun weitermachen? Habt ihr vllt einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass eine Gruppeder Ordnung 56 eine eindeutige
> 2-Sylowuntergruppe oder eine eindeutige 7-Sylowuntergruppe
> besitzt.
> Hallo Leute,
> ich weiß nicht so ganz, was bei obiger Aufgabe gefordert
> ist. Also ich habe mir bisher überlegt:
>
> 56 = [mm]2^3[/mm] * 7
> Für die 7-Sylow-UG gilt:
> - S7 = 1 mod 7, d.h. S7 [mm]\in[/mm] {1,8,15,...}
> - S7 teilt 8
>
> => Es existiert eine Sylowuntergruppe der Ordnung 7 mit 1*6
> = 6 Elementen oder es existieren 8 Sylowuntergruppen der
> Ordnung 7 mit 8*6 = 48 Elementen
Also die beiden möglichen Anzahlen sind richtig. Wenn ich dich hier richtig verstehe, meinst du, dass im ersten Fall die 7-Sylowgruppe 6 nichttriviale Elemente enthält, und im zweiten Fall - da sich zwei verschiedene 7-Sylowgruppen trivial schneiden, die Sylowgruppen zusammen 48 nichttriviale Elemente enthalten. Das stimmt auch.
> Für die 2-Sylow-UG gilt:
> - S2 = 1 mod 2, d.h. S2 [mm]\in[/mm] {1,3,5,7,....}
> - S2 teilt 7
>
> => Es existiert eine Sylowuntergruppe der Ordnung 2 mit 2
> Element oder es existieren 7 Sylowuntergruppen er Ordnung 2
> mit 7*1 = 7 Elementen.
Die Anzahl der 2-Sylowgrupppen ist wieder richtig. Aber bedenke, dass diese die Ordnung 8 haben!
> Stimmt das bisher? Und wie muss ich nun weitermachen? Habt
> ihr vllt einen Tipp für mich?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 So 09.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> Die Anzahl der 2-Sylowgrupppen ist wieder richtig. Aber bedenke, dass diese die Ordnung 8 haben!
Stimmt, danke für den Hinweis.
Und wie prüfe ich jetzt die Eindeutigkeit?
Jeweils eine der Sylows kann ja nach der Aufgabenstellung nicht existieren, sonst wären die ja nicht eindeutig. Muss ich da jetzt die Elemente vergleichen?
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Wenn in beiden Fällen mehr als eine Sylow-Gruppe existieren würde, hätten wir schon mehr als 54 Elemente, da sich 2- und 7-Sylowgruppen natürlich trivial schneiden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: Das soll natürlich keine Frage sein, könnte ein Moderator das ändern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 So 09.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> Wenn in beiden Fällen mehr als eine Sylow-Gruppe
> existieren würde, hätten wir schon mehr als 54 Elemente,
> da sich 2- und 7-Sylowgruppen natürlich trivial schneiden.
Achso. Also ganz konkret wegen 48 + 7 = 55 > 54?
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Sorry, ich habe eben 54 geschrieben, aber wir haben ka Ordnung 56. Also die 7er liefern ohne Einselement 48 Elemente, eine 2er liefert weitere 8 Elemente, und wenn es noch weitere 2-Sylowgruppen gibt, sind wir über 56.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Wenn noch nicht alles geklärt ist, stelle deine Nachfragen besser wieder als Frage ein, und nicht als Mitteilung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 09.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Super, jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
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