Eindeutigk. 0-Fkt. Laurent-R. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Bei der obigen Frage bin ich mir unsicher, was meinen Ansatz betrifft. Also ich denke, dass es mit den Konvergrenzradien der Reihen zusammenhängt, und dass man die Reihen mit verschiedenen Konvergrenzradien nicht einfach addieren darf (?).
Die zweite Reihe hat ja einen Konvergrenzradius von 1 um den Entwicklungspunkt 1. Bei der zweiten Reihe weiß ich ehrlich gesagt gar nicht, wie ich den Konvergenzradius berechne, vermute aber, dass die Laurentreihe praktisch nur in dem Gebiet, wo die andere Reihe konvergiert, nicht konvergiert.
Sind meine Überlegungen richtig? Falls nicht, wie könnte ich vorgehen?
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:43 Sa 13.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Bei der obigen Frage bin ich mir unsicher, was meinen
> Ansatz betrifft. Also ich denke, dass es mit den
> Konvergrenzradien der Reihen zusammenhängt, und dass man
> die Reihen mit verschiedenen Konvergrenzradien nicht
> einfach addieren darf (?).
Oh, addieren darf man sie schon. Nur bei Aussagen ueber die Konvergenz muss man aufpassen.
> Die zweite Reihe hat ja einen Konvergrenzradius von 1 um
> den Entwicklungspunkt 1.
Genau.
> Bei der zweiten Reihe weiß ich
> ehrlich gesagt gar nicht, wie ich den Konvergenzradius
> berechne,
Meinst du jetzt die erste? Das konvergiert fuer [mm] $|\frac{1}{z - 1}| [/mm] < 1$, also fuer $|z - 1| > 1$.
> vermute aber, dass die Laurentreihe praktisch nur
> in dem Gebiet, wo die andere Reihe konvergiert, nicht
> konvergiert.
Genau, so ist es. Die einzige Punktmenge, wo man sich Gedanken machen muss, sind die $z$ mit $|z - 1| = 1$.
Insgesamt erhaelt man zumindest eine Laurentreihe, die hoechstens fuer $z$ in [mm] $\{ z \mid |z - 1| = 1 \} \cup \{ 0 \}$ [/mm] konvergiert. Ueber solche sagt der Eindeutigkeitssatz allerdings nichts aus, insofern erhaelt man keinen Widerspruch.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, felix, für deine Antwort  !
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich habe doch nochmal eine Frage.
> Genau, so ist es. Die einzige Punktmenge, wo man sich
> Gedanken machen muss, sind die [mm]z[/mm] mit [mm]|z - 1| = 1[/mm].
Wieso kann ich das so einfach sagen? Es könnte doch sein, dass wenn ich die beiden Reihen addiere, dann "sie sich gegenseitig aufheben", zum Beispiel im Gebiet |z-1| < 1. Wieso tun sie das nicht?
Dank für Eure Hilfe,
Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Ich habe doch nochmal eine Frage.
>
> > Genau, so ist es. Die einzige Punktmenge, wo man sich
> > Gedanken machen muss, sind die [mm]z[/mm] mit [mm]|z - 1| = 1[/mm].
>
Ich bin der Meinung, dass man sich darüber keine Gedanken machen muß, denn es gibt kein z mit |z-1| = 1 in dem beide Reihen konvergieren !!
> Wieso kann ich das so einfach sagen? Es könnte doch sein,
> dass wenn ich die beiden Reihen addiere,
Vorsicht ! Wenn Du 2 Reihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\alpha_n [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\beta_n [/mm] hast, so ist
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(\alpha_n+ \beta_n) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\alpha_n+\summe_{n=0}^{\infty}\beta_n [/mm] $
nur dann richtig , wenn die beiden Reihen rechts konvergieren
FRED
> dann "sie sich
> gegenseitig aufheben", zum Beispiel im Gebiet |z-1| < 1.
> Wieso tun sie das nicht?
>
> Dank für Eure Hilfe,
> Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für deine Antwort, fred!
Also gilt die Ausgangsbedingung praktisch nicht, weil ich die Reihen gar nicht addieren darf, weil sie für verschiedene Bereiche konvergieren?
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für deine Antwort, fred!
>
> Also gilt die Ausgangsbedingung praktisch nicht, weil ich
> die Reihen gar nicht addieren darf, weil sie für
> verschiedene Bereiche konvergieren?
So ist es
FRED
>
> Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
Ok, vielen Dank fred!
Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
>
> Bei der obigen Frage bin ich mir unsicher, was meinen
> Ansatz betrifft. Also ich denke, dass es mit den
> Konvergrenzradien der Reihen zusammenhängt, und dass man
> die Reihen mit verschiedenen Konvergrenzradien nicht
> einfach addieren darf (?).
> Die zweite Reihe hat ja einen Konvergrenzradius von 1 um
> den Entwicklungspunkt 1. Bei der zweiten Reihe weiß ich
> ehrlich gesagt gar nicht, wie ich den Konvergenzradius
> berechne, vermute aber, dass die Laurentreihe praktisch nur
> in dem Gebiet, wo die andere Reihe konvergiert, nicht
> konvergiert.
>
> Sind meine Überlegungen richtig? Falls nicht, wie könnte
> ich vorgehen?
>
> Viele Grüße, Stefan.
Hallo Stefan,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob da nicht noch ein Fehler drin ist,
Das formale Zusammenfassen der beiden Summen von 0 bis unendlich und 0 bis minus unendlich zur Summe von minus bis plus unendlich enfasst den Summanden für n=0 nur einmal, obwohl er doch in beiden Summen vorkommt?!?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hallo abakus!
> Hallo Stefan,
> ich bin mir nicht ganz sicher, ob da nicht noch ein Fehler
> drin ist,
> Das formale Zusammenfassen der beiden Summen von 0 bis
> unendlich und 0 bis minus unendlich zur Summe von minus bis
> plus unendlich enfasst den Summanden für n=0 nur einmal,
> obwohl er doch in beiden Summen vorkommt?!?
> Gruß Abakus
Nein, das ist kein Fehler, durch den Vorfaktor der ersten Summe geht diese praktisch nur von 1 bis unendlich.
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
|
