Eindeutigkeit - Körper reeller < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Maik314 |
Hallo,
ich habe hierzu bisher keine brauchbaren Informationen gefunden...
Wie beweist man exakt, dass es nur einen vollständig archimedisch angeordneten Körper gibt, die Menge der reellen Zahlen also hinsichtlich der Eigenschaften bezüglich der Operationen und Ordnungsrelationen eindeutig bestimmt ist?
Danke im voraus.
|
|
| |
|
Grüße!
Naja, wenn $K$ ein solcher Körper ist, dann ist zunächst mal die Charakteristik von $K$ gleich $0$ wegen der Anordnung, d.h. $1 + 1 + 1 + [mm] \cdots [/mm] + 1 [mm] \not= [/mm] 0$, egal wieviele 1en man aufaddiert.
Daher gibt es einen Homomorphismus von [mm] $\IZ$ [/mm] nach $K$ und man sieht leicht, dass sich dieser zu einem Homomorphismus [mm] $\IQ \to [/mm] K$ fortsetzt.
(Genauer: Gegeben ein Bruch [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in \IZ$ [/mm] und $b [mm] \not= [/mm] 0$, setze [mm] $f\left(\frac{a}{b}\right) [/mm] := f(a) [mm] \cdot f(b)^{-1}$, [/mm] wobei $f$ auf [mm] $\IZ$ [/mm] schon definiert ist.)
Diese Abbildung ist offensichtlich ein injektiver Körperhomomorphismus und mit der Anordnung verträglich, daher auch stetig in der Topologie, die von den offenen Intervallen gegeben ist.
Aufgrund der Vollständigkeit von $K$ setzt sich $f$ also auch stetig auf Grenzwerte von Cauchy-Folgen in [mm] $\IQ$ [/mm] und damit auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] fort. Es ist klar, dass die Injektivität erhalten bleibt.
Naja und jetzt braucht man nur noch, dass $f$ surjektiv ist und da nutzt man aus, dass $K$ archimedisch ist. Sonst wird das auch falsch, es gibt nämlich vollständige, angeordnete Körper, die nicht die reellen Zahlen sind, dafür aber auch nicht archimedisch, beispielsweise die hyperreellen Zahlen.
Alles klar? 
Gruß,
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mo 07.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Naja und jetzt braucht man nur noch, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist
> und da nutzt man aus, dass [mm]K[/mm] archimedisch ist. Sonst wird
> das auch falsch, es gibt nämlich vollständige, angeordnete
> Körper, die nicht die reellen Zahlen sind, dafür aber auch
> nicht archimedisch, beispielsweise die hyperreellen
> Zahlen.
Noch eine kleine Anmerkung, wen's interessiert: der Beweis der Eindeutigkeit der reellen Zahlen geht auf Ostrowski zurueck. Man kann's auch etwas allgemeiner machen, indem man einen archimedischen Absolutbetrag [mm] $|\bullet| [/mm] : K [mm] \to \R_{\ge 0}$ [/mm] fordert (d.h. erfuellt die Axiome $|x| = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = 0$, $|x y| = |x| |y|$ und $|x + y| [mm] \le [/mm] |x| + |y|$ mit der zusaetzlichen Bedingung, dass $|n|$, $n [mm] \in \IN$ [/mm] unbeschraenkt ist); dann ist $K$ isomorph zu [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$. [/mm] Wenn man auch Schiefkoerper zulaesst (also nicht-kommutative Koerper), koennen noch die Quaternionen rauskommen, mehr aber nicht.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 08.07.2008 | | Autor: | Maik314 |
Grüße!,
Vielen Dank für die Antworten!
Ok, dass die Unterkörper der rationalen Zahlen isomorph sind, ist ja anscheinend trivial.
Ich bin jetzt geneigt, für die vollständigkeit dedekindsche schnitte bzw. die dazu äquivalenten intervallverschachtelungen zu verwenden, da sie sich ohne folgen und grenzwerte rel. einfach einführen lassen.
Der Körperhomomorphismus f von [mm] \IR [/mm] nach K werde nun einfach so definiert, dass für eine Schnittzahl s in [mm] \IR [/mm] eines dedekindschen schnittes [mm] (\{x \in \IQ_{1} | x
dass sich die anordnung überträgt, folgt leicht daraus.
wäre das soweit ok? oder fehlt noch was, bzw. ist falsch?
(Btw: in Ehrhard Behrends "Analysis Band 1" steht mit einer beweisskizze, dass die archimedizität aus der vollständigkeit folgt, also dass vollständig angeordnete körper stets archimedisch sind im Widerspruch... Ist das etwa falsch?) und hat das einfluss auf das oben stehende?
Und dann hätte ich mal noch ne Frage allgemein zu Modellen der Zahlenbereiche.
durch die axiome, egal ob für die natürlichen, ganzen, oder die reellen zahlen, wird ja nicht die zugrundeliegende Menge festgelegt, sondern nur die eigenschaften dieser bezüglich der ebenfalls noch unbestimmten verknüpfungen.
durch mengentheoretische modelle können nun auch die mengen der natürlichen zahlen und durch geeignete erweiterungen die mengen der anderen zahlenbereiche festgelegt werden, diese sind dann ja aber nicht mehr eindeutig hinsichtlich der mengengleichheit.
Frage: hab ich das richtig verstanden, dass zwei beliebige zahlen z1 und z2 genau gleich sind, wenn f ein entsprechender strukturisomorphismus ist und f(z1)=z2 und daher zahlengleichheit nicht das selbe ist, wie mengengleichheit? bzw ist, wenn man den isomorphismus als äquivalenzrelation betrachtet, genau dann z1 gleich z2, wenn z1 äquivalent zu z2 ist?
im falle eines zahlenbereiches mit einem ausgewählten mengenmodell wäre zahlengleichheit noch identisch mit mengengleichheit aber auch nur dann und diesen fall kann man ja durch den trivialen automorphismus auf das allgemeinere obere verständnis zurückführen und damit spielt auch das explizite mengenmodell keine rolle mehr.
Ist das alles soweit richtig oder hab ich da was grundsätzlich falsch verstanden? (ich steck leider noch nich allzu sehr in der materie)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 08.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Grüße!,
>
> Vielen Dank für die Antworten!
> Ok, dass die Unterkörper der rationalen Zahlen isomorph
> sind, ist ja anscheinend trivial.
"Trivial" bedeutet für mich was anderes. Also ich wär da ohne weiteres nicht drauf gekommen. Aber wenn man die Lösung sieht, dann sieht's leicht aus, hast recht ^^
>
> Ich bin jetzt geneigt, für die vollständigkeit dedekindsche
> schnitte bzw. die dazu äquivalenten
> intervallverschachtelungen zu verwenden, da sie sich ohne
> folgen und grenzwerte rel. einfach einführen lassen.
> Der Körperhomomorphismus f von [mm]\IR[/mm] nach K werde nun
> einfach so definiert, dass für eine Schnittzahl s in [mm]\IR[/mm]
> eines dedekindschen schnittes [mm](\{x \in \IQ_{1} | x
> gilt: f(s) ist die wegen der vollständigkeit von K
> existierende schnittzahl von [mm](\{f(x) \in \IQ_{2} | f(x)
> also f(s)=t. Offenbar wäre dann f ein körperisomorphismus
> von [mm]\IR[/mm] nach K.
> dass sich die anordnung überträgt, folgt leicht daraus.
>
> wäre das soweit ok? oder fehlt noch was, bzw. ist falsch?
Sieht an sich richtig aus, nur... wie definierst du die Vollständigkeit von K? Wahrscheinlich mit Cauchy-Folgen. Also kommst du um sie nicht drum rum... du musst aus dem Schnitt [mm](\{f(x) \in \IQ_{2} | f(x)
> (Btw: in Ehrhard Behrends "Analysis Band 1" steht mit
> einer beweisskizze, dass die archimedizität aus der
> vollständigkeit folgt, also dass vollständig angeordnete
> körper stets archimedisch sind im Widerspruch... Ist das
> etwa falsch?) und hat das einfluss auf das oben stehende?
>
So, wie du es hingeschrieben hast, ist es falsch, denn die ![[]](/images/popup.gif) Hyperreellen Zahlen bilden einen vollständigen, angeordneten Körper, der nicht archimedisch ist.
In dem Buch war es wohl anders gemeint... man kann statt dem archimedischen Axiom und dem Axiom der Vollständigkeit das Axiom, dass jede Menge reeller Zahlen ein Supremum hat, fordern. Das führt zum selben Ziel, denn aus diesem "Supremumsaxiom" lässt sich sowohl die Vollständigkeit, als auch die archimedische Anordnung beweisen.
>
>
> Und dann hätte ich mal noch ne Frage allgemein zu Modellen
> der Zahlenbereiche.
> durch die axiome, egal ob für die natürlichen, ganzen,
> oder die reellen zahlen, wird ja nicht die zugrundeliegende
> Menge festgelegt, sondern nur die eigenschaften dieser
> bezüglich der ebenfalls noch unbestimmten verknüpfungen.
>
> durch mengentheoretische modelle können nun auch die mengen
> der natürlichen zahlen und durch geeignete erweiterungen
> die mengen der anderen zahlenbereiche festgelegt werden,
> diese sind dann ja aber nicht mehr eindeutig hinsichtlich
> der mengengleichheit.
>
> Frage: hab ich das richtig verstanden, dass zwei beliebige
> zahlen z1 und z2 genau gleich sind, wenn f ein
> entsprechender strukturisomorphismus ist und f(z1)=z2 und
> daher zahlengleichheit nicht das selbe ist, wie
> mengengleichheit? bzw ist, wenn man den isomorphismus als
> äquivalenzrelation betrachtet, genau dann z1 gleich z2,
> wenn z1 äquivalent zu z2 ist?
> im falle eines zahlenbereiches mit einem ausgewählten
> mengenmodell wäre zahlengleichheit noch identisch mit
> mengengleichheit aber auch nur dann und diesen fall kann
> man ja durch den trivialen automorphismus auf das
> allgemeinere obere verständnis zurückführen und damit
> spielt auch das explizite mengenmodell keine rolle mehr.
>
> Ist das alles soweit richtig oder hab ich da was
> grundsätzlich falsch verstanden? (ich steck leider noch
> nich allzu sehr in der materie)
Man sagt, dass die Axiome die reellen Zahlen -bis auf Isomorphie- eindeutig beschreiben. Und das bedeutet genau das, was du geschrieben hast, nämlich dass es unendlich viele verschiede Mengen gibt, die reelle Zahlen sind.... nur sind sie alle insofern gleich, dass man durch eine einfach "Umbennenung" alle ineinander überführen kann.
Also ich kann z.B. als natürliche Zahlen auch [mm] \{Baum, Pelztierchen, Tür, ...\} [/mm] definieren. Und hab ich eben Baum+Pelztierchen=Tür ^^
Genau das bedeutet "bis auf Isomorphie" eindeutig. Die Mengen sind verschieden, aber ich kann durch den entsprechenden Isomorphismus einfach alle Elemente passend umbennenen und kriege dann die andere Menge dadurch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Falls dich sowas interessiert, dann leg' ich dir "Heinz-Dieter Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0" ans Herz.
|
|
|
|
